\(\displaystyle{ \sum_{k=4}^{\infty}\binom{k}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-4}}\)
Jak się liczy takie sumy?
Wyznaczyć sumę szeregu
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Wyznaczyć sumę szeregu
Moja propozycja:
\(\displaystyle{ { k \choose 4}=\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{4!}}\)
Musisz teraz wymnożyć nawiasy w liczniku i dostaniesz wielomian 4-go stopnia. Potem rozbijasz na sumę kilku szeregów. Każdy z nich da się policzyć z użyciem szeregów potęgowych.
Dodano po 44 minutach 20 sekundach:
Teraz zauważyłem, że oczywiście da się prościej. Zauważmy, że szereg funkcyjny
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}x^k}\)
jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\) i jego suma jest znana (szereg geometryczny). Różniczkując 4 razy wyraz po wyrazie dostaniemy szereg funkcyjny blisko związany z naszym szeregiem.
\(\displaystyle{ { k \choose 4}=\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{4!}}\)
Musisz teraz wymnożyć nawiasy w liczniku i dostaniesz wielomian 4-go stopnia. Potem rozbijasz na sumę kilku szeregów. Każdy z nich da się policzyć z użyciem szeregów potęgowych.
Dodano po 44 minutach 20 sekundach:
Teraz zauważyłem, że oczywiście da się prościej. Zauważmy, że szereg funkcyjny
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}x^k}\)
jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\) i jego suma jest znana (szereg geometryczny). Różniczkując 4 razy wyraz po wyrazie dostaniemy szereg funkcyjny blisko związany z naszym szeregiem.