Zbieżność ciągu z kryterium porównawczego

[terefere123]

Chciałbym udowodnić rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \frac{1}{n \ln n}}\) ale używając kryterium porównawczego. Próbowałem wielu rzeczy ale za każdym razem to nie wystarczało. Proszę o wskazówkę.

[Janusz Tracz]

Ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n\ln n} }\) pogrupuj w nawiasy w których będzie kolejna potęga \(\displaystyle{ 2}\) wyrazów i oszacuj z dołu najmniejszym z nich razy ilość wyrazów w nawiasie.

ogólnie:    

Gdy \(\displaystyle{ a_n>0}\) oraz jest malejący to \(\displaystyle{ 2\sum_{n=1}^{ \infty }a_n \ge \sum_{n=1}^{ \infty }2^na_{2^n} }\)

Zatem

\(\displaystyle{ 2\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln n} \ge \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{2^n}{2^n\ln 2^n} }\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{2n\ln 2} \le \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln n} }\)

lewa strona jest rozbieżna prawda zatem też. Gdy wykona się szacowanie z góry w podobnym stylu otrzymuje się

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Cauchy%E2%80%99ego_o_zag%C4%99szczaniu

[terefere123]

Dziękuje za rozwiązanie ale pewnych rzeczy nie rozumiem.

\(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{1}{n \ln n} = (\frac{1}{2 \ln 2}) + (\frac{1}{3 \ln 3} + \frac{1}{4 \ln 4}) + (\frac{1}{5 \ln 5} + \frac{1}{6 \ln 6} + \frac{1}{7 \ln 7} + \frac{1}{8 \ln 8} ) + ...}\)

Ten rozpisany szereg jest większy od:

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2 \ln 2}) + (\frac{2}{4 \ln 4}) + (\frac{4}{8 \ln 8}) + (\frac{8}{16 \ln 16}) +...}\)

A wzór takiego szeregu to: \(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}}}\)

To znaczy, że: \(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{1}{n \ln n}}\)
a jeśli tak to:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \frac{1}{n \ln n}}\)
co jest prawdziwe tylko dla kilku \(\displaystyle{ n}\) a nie dla prawie wszystkich

Gdzieś w tym moim rozumowaniu jest błąd.

[Dasio11]

Gdzieś w tym moim rozumowaniu jest błąd.

Tu:

To znaczy, że: \(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{1}{n \ln n}}\)
a jeśli tak to:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \frac{1}{n \ln n}}\)

Z faktu że suma szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} a_n}\) jest mniejsza lub równa od sumy szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} b_n}\) nie wynika oczywiście, że \(\displaystyle{ a_n < b_n}\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n}\) - tym bardziej, gdy obie te sumy wynoszą \(\displaystyle{ \infty}\).

[Janusz Tracz]

Gdzieś w tym moim rozumowaniu jest błąd.

Błąd polega na tym, że z \(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{1}{n \ln n}}\) nie wynika \(\displaystyle{ \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \frac{1}{n \ln n}}\) bo po lewej i po prawej stronie zmienne \(\displaystyle{ n}\) to nie to samo \(\displaystyle{ n}\). Można tak bo zmienna \(\displaystyle{ n}\) jest bieżąca i tak naprawdę ten szereg nie zależy od \(\displaystyle{ n}\), innymi słowy można tam podstawić inną literkę i inaczej to grupować. Nie wiem czy dobrze to tłumaczę więc postaram się wyrazić to co pisałem inaczej.

Zapiszmy to tak:

\(\displaystyle{ \underbrace{\frac{1}{2 \ln 2}}_{A_1} + \underbrace{\frac{1}{3 \ln 3} + \frac{1}{4 \ln 4}}_{A_2} + \underbrace{\frac{1}{5 \ln 5} + \frac{1}{6 \ln 6} + \frac{1}{7 \ln 7} + \frac{1}{8 \ln 8}}_{A_3} +... \ge \\ \underbrace{\frac{1}{2 \ln 2}}_{B_1} + \underbrace{\frac{1}{4 \ln 4} + \frac{1}{4 \ln 4}}_{B_2} + \underbrace{\frac{1}{8 \ln 8} + \frac{1}{8 \ln 8} + \frac{1}{8 \ln 8} + \frac{1}{8 \ln 8}}_{B_3} +...}\)

Każde \(\displaystyle{ A_i}\) szacujesz ostatnim wyrażam nawiasu razy ilość wyrazów w nawiasie stąd \(\displaystyle{ A_i \ge B_i}\) i stąd nasze szacowanie. A z tego co piszesz

\(\displaystyle{ \frac{2^{n-2}}{2^{n-1} \ln 2^{n-1}} < \frac{1}{n \ln n}}\)

odnoszę wrażanie, że chcesz tylko kawałek \(\displaystyle{ A_i}\) czyli jeden wyraz postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n\ln n} }\) oszacować przez całe \(\displaystyle{ B_i}\) co wprowadza błąd.