Znalezienie sumy szeregu

[K4M1L]

Obliczyć sumę podanego szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{1}{(n+1) \cdot 2 ^{n} } }\)
Wiem, że trzeba skorzystać z tw. o całkowaniu szeregu, jednak nie wiem jak formalnie zapisać rozwiązanie

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\cdot 2^{n}}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{n} \mbox{d}x \right)\\=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} \right)\mbox{d}x=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\mbox{d}x}{1-x}=-2\ln\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln 2}\)
W trzeciej równości (kluczowa sprawa) korzystam ze wspomnianego twierdzenia o całkowaniu szeregów potęgowych.

[janusz47]

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego zbieżnego

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} t^{n} = \frac{t}{1- t}, \ \ |t|<1. }\)

Całkując obustronnie po odcinku \(\displaystyle{ [0,\ \ x], \ \ |x|< 1 }\) powyższe równanie, otrzymamy

\(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = -x -\ln(1- x). }\)

Dzieląc strony ostatniej równości przez \(\displaystyle{ x }\) dostaniemy

\(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1} = -1 - \frac{\ln(1-x)}{x} \ \ (1)}\)

W celu wyznaczenia sumy rozważanego szeregu podstawiamy w równości \(\displaystyle{ (1), \ \ x = \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} (n+1)} = -1 -2\ln\left(\frac{1}{2}\right) = 2\ln(2) -1. }\)