Problem ze zrozumieniem kryterium porównawczego

[a4karo]

Jest istotna różnica. Jedno oszacowanie jest proste, a drugie mniej. Mamy

\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot n}{n^n}\le\frac{1\cdot 2\cdot n\cdot...\cdot n}{n^n} =\frac{2n^{n-2}}{n^n}=\frac{2}{n^2}}\)

(łatwo zauważyć, że to oszacowanie jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 1}\), sprawdzając przypadki \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) ręcznie).

A jak chcesz w prosty sposób chcesz szacować przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) ?

JK

\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot n}{n^n} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot (n-1)}{n^{n-1}}=\\
=\frac{\sqrt{1\cdot (n-1)\cdot 2\cdot (n-2)\dots (n-2)\cdot 2\cdot(n-1)\cdot 1}}{n^{n-1}}\le\\
\leq \frac{(n/2)^{n-1}}{n^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{n^2}}\)
dla \(\displaystyle{ n>6.}\)

[Jan Kraszewski]

bhastek, myślę, że teraz dokładnie widzisz różnicę...

JK

[a4karo]

Albo tak
\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{3}{n}\cdot\dots\cdot\frac{n}{n}=\\
=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\cdot\green{\frac{2\cdot 3}{n}\cdot\dots\cdot\frac{n}{n}\leq\frac{1}{n^2}}}\)
dla \(\displaystyle{ n>6}\) zielone ułamki są mniejsze niż \(\displaystyle{ 1}\).