Problem ze zrozumieniem kryterium porównawczego

[bhastek]

Witam. Mam problem ze zrozumieniem kryterium porównawczego zbieżności szeregów. Chodzi o to, że zastanawia mnie w jaki sposób dobieramy szereg do porównania. Otóż w Krysickim i Włodarskim w zadaniu 3.3 użyto do porównania szeregu \(\displaystyle{ \frac{2}{n^2}}\). Dlaczego akurat taki, skoro \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) też spełnia warunki zadania tzn. jest zbieżny i od pewnego miejsca większy od szeregu obliczanego?

[Jan Kraszewski]

Byłoby łatwiej, gdybyś podał treść zadania 3.3...

JK

[bhastek]

Oczywiście:) Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{n^n}}\)

[Jan Kraszewski]

W tym zadaniu użyto szeregu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{2}{n^2}}\), bo to jest najprostsze oszacowanie.

To nie jest tak, że w kryterium porównawczym musisz znaleźć jedyne słuszne oszacowanie.

JK

[bhastek]

Ale przyjmijmy hipotetycznie, że szacowanie robię w excelu i użyłem jednak szeregu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\). Czy takie rozwiązanie można uznać za poprawne? Definicja IMO nie określa żadnych innych wymagań co do szeregu, z którym porównujemy?

[janusz47]

Kryterium d'Alemberta

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)!\cdot n^{n}}{(n+1)^{n+1}\cdot n!} = \lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)}{(n+1)}}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^n}= \frac{1}{e} < 1}\)

Szereg zbieżny.

[bhastek]

Nie pytam o kryterium d`Alemberta. Zadam pytanie inaczej. Czy w kryterium porównawczym mogę sobie wybrać dowolny szereg do porównania, o którym wiadomo, że jest zbieżny lub rozbieżny jeśli tylko umiem określić czy od pewnego miejsca wyrazy są większe lub mniejsze od wyrazów szeregu badanego?

[Jan Kraszewski]

Ale czym jest Twoje rozwiązanie?

Z matematycznego punktu widzenia rozwiązanie korzystające z kryterium porównawczego musi zawierać m.in. dowód, że wyraz ogólny szeregu użytego do szacowania istotnie ogranicza (być może od pewnego miejsca) wyraz ogólny badanego szeregu.

Rachunki w Excelu to nie dowód. Możesz wybrać sobie taki szereg do porównania, jaki chcesz, ale dowód musisz zrobić.

JK

[bhastek]

No właśnie i to dowodzenie i szacowanie sprawia mi problem, który dla Was może być trywialny. Bo dla mnie nie ma widocznej różnicy w szacowaniu między \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\), a \(\displaystyle{ \frac{2}{n^2}}\) gdyż na mój prosty chłopski rozum to mianownik decyduje o wielkości kolejnych wyrazów. Nie wyłapuje tej subtelności:) No cóż, muszę to przemyśleć i dziękuję za próbę pomocy:)

[Jan Kraszewski]

Jest istotna różnica. Jedno oszacowanie jest proste, a drugie mniej. Mamy

\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot n}{n^n}\le\frac{1\cdot 2\cdot n\cdot...\cdot n}{n^n} =\frac{2n^{n-2}}{n^n}=\frac{2}{n^2}}\)

(łatwo zauważyć, że to oszacowanie jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 1}\), sprawdzając przypadki \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) ręcznie).

A jak chcesz w prosty sposób chcesz szacować przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) ?

JK

[bhastek]

Takiego naprowadzenia potrzebowałem. Serdeczne dzięki za cierpliwość i łopatologiczne tłumaczenie.

[Bran]

Nie pytam o kryterium d`Alemberta. Zadam pytanie inaczej. Czy w kryterium porównawczym mogę sobie wybrać dowolny szereg do porównania, o którym wiadomo, że jest zbieżny lub rozbieżny jeśli tylko umiem określić czy od pewnego miejsca wyrazy są większe lub mniejsze od wyrazów szeregu badanego?

To ja jeszcze do tego dodam, że obydwa muszą być dodatnie i monotoniczne.

[Jan Kraszewski]

To ja jeszcze do tego dodam, że obydwa muszą być dodatnie i monotoniczne.

Co musi być monotoniczne?

JK

[Bran]

Fakt, sprawdziłem - chyba nie trzeba, żeby w \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n}\) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) był monotoniczny.
Ale tłumaczę skąd się wziął błąd, mianowicie myślałem o dowodzie kryterium porównawczego z wykorzystaniem lematu o ciągu ograniczonym i monotonicznym, więc na to wychodzi, że żeby szereg był zbieżny, to jego ciąg sum częściowych musi być monotoniczny. Chyba, że znowu coś mylę.

[MrCommando]

Kryterium porównawcze stosuje się do szeregów o wyrazach nieujemnych. Więc jak rozważany szereg ma wyrazy nieujemne, to siłą rzeczy ciąg jego sum częściowych jest monotoniczny - niemalejący. Zatem na to, żeby był zbieżny, wystarcza że będzie jeszcze ograniczony. Ciąg sum częściowych ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\), to przecież co innego niż ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\), który monotoniczny być nie musi.