Taki sobie iloczyn

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Taki sobie iloczyn

Post autor: a4karo »

Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{2^n}{2^n+1}}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Taki sobie iloczyn

Post autor: janusz47 »

Ten sobie iloczyn logarytmujemy logarytmem naturalnym, zamieniając iloczyn na sumę .

Korzystamy z własności logarytmu naturalnego ( podstawa \(\displaystyle{ e> 1}\) ) jako funkcji rosnącej- szacując z góry \(\displaystyle{ N}\) - ujemnych składników sumy (logarytmów naturalnych z liczb mniejszych od \(\displaystyle{ 1}\)) przez

\(\displaystyle{ \ln\left( \frac{2^{n}}{2^{n}}\right) = \ln 1 = 0.}\)

Wracamy do iloczynu- skąd wynika, że dana granica jest równa \(\displaystyle{ e^{0}=1}\), gdy \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Taki sobie iloczyn

Post autor: a4karo »

Janusz, daj spokój...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Taki sobie iloczyn

Post autor: Premislav »

Był już wątek, w którym padło pytanie o taką (no, prawie taką, ale to na jedno wychodzi) granicę:
https://matematyka.pl/153183.htm

Czy udało się Panu ją obliczyć lub znalazł Pan gdzieś rozwiązanie? Bo jeśli nie wiadomo, czy problem da się sensownie rozwiązać, to ja nie zamierzam tracić czasu. Otwarte problemy to nie jest mój poziom i nigdy nie będzie.

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+n+to+infty+of+product_%28k%3D1%29%5En+2%5Ek%2F%282%5Ek+%2B+1%29
zwraca jakąś sieczkę, nie znam się na symbolu q-Pochhammera.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Taki sobie iloczyn

Post autor: a4karo »

Wyszedł mi taki ogonek przy liczeniu pewnego szeregu i miałem nadzieję że ktoś coś...
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Taki sobie iloczyn

Post autor: Gosda »

Nie tylko Wolfram:

Kod: Zaznacz cały

http://oeis.org/A132020
, faktycznie beznadziejny przypadek
ODPOWIEDZ