Obliczenie sumy szeregu

[byby23]

Witam,
nie mogłem znaleźć nigdzie jakim sposobem można rozwiązać taki szereg.

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac13\right) ^n=\frac32.}\)

Mógłby mi ktoś pomóc i mnie naprowadzić?
Pozdrawiam

[Janusz Tracz]

To jest suma ciągu geometrycznego. Znany jest ogólny wzór \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^n= \frac{1}{1-x}}\) wystarczy, że podstawisz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\)-- 5 lip 2019, o 21:48 --PS ten wzór działa dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1}\)

[byby23]

\(\displaystyle{ \sum^{ \infty }_{n=0} ( 3^{-n} - 3^{-n} )^2}\)

ucięło mi coś linka, dlatego po wejściu w niego wyskakuje co innego. O taki szereg mi chodzi.

[Jan Kraszewski]

Następny post bez \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a wyląduje w Koszu.

I chyba jednak nie o taki szereg Ci chodziło.

JK

[byby23]

\(\displaystyle{ \sum^{ \infty }_{n=0} ( 3^{-n} - 4^{-n} )^2}\)

Poprawione, dokładnie o taki szereg mi chodziło.

[Premislav]

Wystarczy kryterium porównawcze:
\(\displaystyle{ 0<( 3^{-n} - 4^{-n} )^2<3^{-2n}}\), a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}3^{-2n}}\)
to zbieżny szereg geometryczny (iloraz równy \(\displaystyle{ \frac 1 9}\)).

[byby23]

Ok, dzięki za podpowiedź. Dalej spróbuję sam.

[Dasio11]

A jeśli chodzi o obliczenie sumy szeregu - jak sugeruje tytuł tematu - to rozwiń \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3^n} - \frac{1}{4^n} \right)^2}\) ze wzoru skróconego mnożenia, a otrzymasz sumę trzech ciągów geometrycznych, których sumy możesz obliczyć ze wzoru podanego wcześniej w tym wątku.