Suma szeregu o wyrazach zespolonych

[Legisl]

Rozstrzygnąć dokładną sumę szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac {1} {1-s^{n}},s\in \mathbb{C}}\) . Możemy skorzystać z kryterium Cauchy'ego: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\left| z_{n}\right| }=\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac {1} {1-s^{n}}\right| }=\lim_{ n\to \infty } \sqrt[ \infty ]{\left| \frac {1} { \pm \infty }\right| }=0<1}\) zatem szereg jest zbieżny, lecz pytanie dotyczące jego sumy nadal jest otwarte.

[Premislav]

Niepoprawnie obliczyłeś granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{1}{1-s^n}\right| }}\),
ona nigdy nie wynosi tyle, co napisałeś. Dla \(\displaystyle{ |s|>1}\), to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{|s|}}\), zaś dla \(\displaystyle{ |s|<1}\) będzie równa \(\displaystyle{ 1}\) (wymaga to pewnego uzasadnienia).
Czyli niewątpliwie szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |s|>1}\).

Jeśli problem pojawia się na poziomie obliczenia takiej granicy, to jak na razie daj sobie spokój z myśleniem o sumowaniu tego szeregu, co jest nieporównywalnie trudniejsze, bez urazy.

-- 2 lip 2019, o 13:21 --

Jak chcesz się uczyć analizy, to tutaj podałem trochę materiałów: klik!
Możesz też przejrzeć dział Matematyk w bibliotece na tym forum.

[Legisl]

Bardzo dziękuję za pomoc i poprawienie moich błędów. Zastanawiałem się nad tym problem, ponieważ jeśli podstawimy:
\(\displaystyle{ f(s)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{n+1}} {1-s^{n}}, s\in \mathbb{C}}\) to obrazem tej funkcji jest właśnie bardzo regularne rozmieszczenie zer, a mianowicie wszystkie zera bez wyjątku znajdują się na okręgu jednostkowym, a wszystko poza wnętrzem okręgu i jego brzegami wygląda na nienaruszone. Życzę wszystkim miłego dnia i chwała matematyce!

[Janusz Tracz]

to obrazem tej funkcji jest właśnie bardzo regularne rozmieszczenie zer

Nie wynikając w to, że ta funkcja nie jest określona na \(\displaystyle{ \CC}\) to o jakich zerach mówisz? Na okręgu jednostkowych są raczej bieguny funkcji \(\displaystyle{ f(s)}\) choć nazwa

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Biegun_%28analiza_zespolona%29

też do końca tu nie pasuje. Ta funkcja na brzegu dysku jednostkowego jest często nieokreślona bo kładąc \(\displaystyle{ s=e^{i \pi \phi}}\) dla każdego \(\displaystyle{ \phi\in\QQ}\) znajdzie się takie \(\displaystyle{ n\in\NN}\), że \(\displaystyle{ s^n=1}\) (co skutkowało by dzieleniem przez zero). A gdy \(\displaystyle{ \phi\not\in\QQ}\) to i tak dla niektórych \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zajdzie \(\displaystyle{ s^n \approx 1}\) (co skutkuje dzieleniem przez liczbę dowolnie bliską zeru) tam funkcja jest nieograniczona.

Jeśli chodzi o sumowanie tego szeregu to jest to bardzo trudne (wręcz niemożliwe) i niewiele można zdziałać (o ile sumowaniem szeregu nie nazywamy zamiany na inny szereg ukryty pod nazwą funkcji nieelementarnych polygamma i jej modyfikacji).

[Dasio11]

Na okręgu jednostkowych są raczej bieguny funkcji \(\displaystyle{ f(s)}\) choć nazwa

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Biegun_%28analiza_zespolona%29

też do końca tu nie pasuje. Ta funkcja na brzegu dysku jednostkowego jest często nieokreślona bo kładąc \(\displaystyle{ s=e^{i \pi \phi}}\) dla każdego \(\displaystyle{ \phi\in\QQ}\) znajdzie się takie \(\displaystyle{ n\in\NN}\), że \(\displaystyle{ s^n=1}\) (co skutkowało by dzieleniem przez zero). A gdy \(\displaystyle{ \phi\not\in\QQ}\) to i tak dla niektórych \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zajdzie \(\displaystyle{ s^n \approx 1}\) (co skutkuje dzieleniem przez liczbę dowolnie bliską zeru) tam funkcja jest nieograniczona.

Ta analiza miałaby sens dla ciągu \(\displaystyle{ z_n = \frac{(-1)^{n+1}}{1-s^n}}\). Ale rzecz jest o szeregu, który jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ |s| \le 1}\), więc nie ma żadnej mowy o biegunach ani nieograniczoności funkcji na okręgu.

[Legisl]

Nie wynikając w to, że ta funkcja nie jest określona na \(\displaystyle{ \CC}\) to o jakich zerach mówisz?

Przez zera rozumiem zbiór liczb \(\displaystyle{ \lbrace\CC\ni s_{0}:f(s_{0})=0\rbrace}\)

Nie wynikając w to, że ta funkcja nie jest określona na \(\displaystyle{ \CC}\)

Chciałbym upewnić się, czy na pewno dobrze rozumiem dlaczego dana funkcja nie może być określona na \(\displaystyle{ \CC}\) . Jak słusznie Janusz Tracz zauważył, punkty leżące blisko dysku są często nieokreślone, co przeczy jednoznacznemu przyporządkowaniu, co z kolei podważa racje bytu tak zdefiniowanej funkcji. Bardzo dziękuję za czujność, będę na przyszłość uważał na konstruowanie funkcji za pomocą szeregów nieskończonych. Czy dobrze wyciągnąłem wnioski z Pańskiej wypowiedzi?

[Janusz Tracz]

Ta analiza miałaby sens dla ciągu \(\displaystyle{ z_n = \frac{(-1)^{n+1}}{1-s^n}}\)

Dasio11 fakt, taka analiza ma sens gdy mówimy o ciągu ale tu przeprowadziłem ją by wyjaśnić "dziwne" zachowanie funkcji w okolicy brzegu dysku jednostkowego. Pisząc to miałem bardziej na myśli funkcję (a dokładnie ciąg funkcyjny) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n+1}}{1-s^n}}\) (analogicznie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{1-s^n}}\)) aniżeli szereg.Wydaje mi się, że to rozumowanie wyjaśnia co dzieje się na brzegu dysku w miarę wzrostu \(\displaystyle{ N}\), zagęszczają się pierwiastki \(\displaystyle{ 1}\) i to w sporym tempie bo z każdym zwiększeniem się \(\displaystyle{ N}\) pojawia się \(\displaystyle{ N}\) nowych punktów które wypadają z dziedziny. Choć przyznaje się, że trochę mogło to być mylące oraz, że nie do końca wyraziłem się jasno (nawet jeśli chodziło mi raczej o heurystykę nie formalizm), dzięki za cenną uwagę.

Przez zera rozumiem zbiór liczb \(\displaystyle{ \lbrace\CC\ni s_{0}:f(s_{0})=0\rbrace}\)

Ok czyli standardowe zera. W takim razie na okręgu jednostkowym nie ma miejsc zerowych. Tam nic nie ma bo funkcja jest tam nieokreślona. Bezpieczniej było by zbiór miejsc zerowych określić jako \(\displaystyle{ \lbrace s_0\in D:f(s_{0})=0\rbrace}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) to dziedzina funkcji. Tu dziedziną jest \(\displaystyle{ D= \CC \setminus \left\{ z\in \CC: \left| z\right| \le 1 \right\}}\) dlatego nie można mówić co się dzieje gdy \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\).

Chciałbym upewnić się, czy na pewno dobrze rozumiem dlaczego dana funkcja nie może być określona na CC . Jak słusznie Janusz Tracz zauważył, punkty leżące blisko dysku są często nieokreślone, co przeczy jednoznacznemu przyporządkowaniu, co z kolei podważa racje bytu tak zdefiniowanej funkcji. Bardzo dziękuję za czujność, będę na przyszłość uważał na konstruowanie funkcji za pomocą szeregów nieskończonych. Czy dobrze wyciągnąłem wnioski z Pańskiej wypowiedzi?

Na te pytania częściowo każdy z nas poniekąd odpowiedział Premislav pokazał gdzie szereg jest zbieżny (zatem pokazał co do dziedziny na pewno należy),Dasio11 powiedział gdzie szereg jest rozbieżny (czyli co do dziedziny nie należy), ja pokazałem intuicję jaka pozwala zrozumieć co się dzieje blisko (do słowa blisko jeszcze wrócimy) dysku. Jednak stwierdzenie, że:

punkty leżące blisko dysku są często nieokreślone, co przeczy jednoznacznemu przyporządkowaniu, co z kolei podważa racje bytu tak zdefiniowanej funkcji

jest fałszywe. Tu kluczem jest zrozumienie słowa "blisko" bo blisko poza dyskiem punkty są określona i nie ma w tym sprzeczności. Taka funkcja określona na \(\displaystyle{ D= \CC \setminus \left\{ z\in \CC: \left| z\right| \le 1 \right\}}\) jest określona poprawnie. Problemem jest sam brzeg dysku dokładnie takie \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ |z|=1}\) ale to problem pozorny bo tych punktów nie ma w dziedzinie, więc w ogólnie nie ma tam żadnej wartości. Analogią z analizy rzeczywistej do tego błędnego stwierdzenia było by powiedzenie, że funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) jest nieokreślona w okolicy zera. Jest to nieprawdą funkcja ta jest nieokreślona wyłącznie w zerze. Twoje wątpliwości biorą się z tego, że próbujesz za argument funkcji podać coś z poza jaj dziedziny.

[Legisl]

Bardzo dziękuję za przejrzystą odpowiedź, teraz rozumiem moje błędy w rozumowaniu.