Rozstrzygni zbieżność szeregu

[Bran]

Zbadaj czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1,00001}}}\) jest zbieżny.

Wiemy, że nie jest, ale zastanawiam się nad sposobami udowodnienia tego faktu. Pomyślałem, że można tak:

\(\displaystyle{ s > 1}\). Skorzystajmy z kryterium zagęszczającego

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \frac{1}{\left( 2^n\right) ^s}}\)

Po zredukowaniu \(\displaystyle{ 2^n}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{ns-1}}}\)

Jako, że \(\displaystyle{ s>1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2^{ns - 1}}\right| < 1}\)
W takim razie szereg ten jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym od jednego, więc na mocy kryterium zagęszczającego zbieżny jest szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\)

A szukany szereg to szczególny przypadek powyższego.


Czy poprawnie to zrobiłem?

Jak jeszcze można udowodnić ten fakt?

[Premislav]

Wiemy, że nie jest

To źle wiemy.

Jako, że \(\displaystyle{ s>1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2^{ns - 1}}\right| < 1}\)
W takim razie szereg ten jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym od jednego

Nie rozumiem. Nie szacowałeś tutaj ilorazu.
Poza tym powinno być
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n{\red (}s-1{\red )}}}}\)
a nie
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{ns-1}}}\)

Wtedy masz szereg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{s-1}}}\), który istotnie jest zbieżny dla dowolnego \(\displaystyle{ s>1}\), w szczególności dla tego z zadania.

-- 28 cze 2019, o 16:33 --

Jak jeszcze można udowodnić ten fakt?

Kryterium kondensacyjne rzeczywiście najbardziej się narzuca, ale można też postąpić tak:
niech \(\displaystyle{ f(x)=x^{1-s}}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ s>1}\). Niech \(\displaystyle{ n\ge 2}\). Mamy
\(\displaystyle{ f(n)-f(n-1)=(1-s)c^{-s}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in \left( n-1; n\right)}\) na mocy twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej. Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{1}{s-1}\left( f(n-1)-f(n)\right) =c^{-s}>n^{-s}}\).
Dodajemy takie nierówności stronami dla \(\displaystyle{ n=2,3\ldots N}\) i mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{s-1}\left( f(1)-f(N)\right)> \sum_{n=2}^{N}n^{-s}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 1+ \frac{1-N^{-s}}{s-1} > \sum_{n=1}^{N}n^{-s}}\)
Majoranta rośnie do \(\displaystyle{ \frac{s}{s-1}}\) (łatwe), stąd ciąg sum częściowych szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}}\)
jest rosnący (dodatnie wyrazy szeregu) i ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ \frac{s}{s-1}}\), więc ma granicę właściwą, czyli szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}}\) jest zbieżny.