Zbadaj zbieżność szeregu (funkcja część całkowita)

[gosia111]

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{(-1)^{E(\frac{n}{2})}}{n+1}}\)

Jeżeli nazwiemy \(\displaystyle{ a_n=E \left(\frac{n}{2}\right)}\) to:

\(\displaystyle{ a_0=E(0)=0}\), \(\displaystyle{ a_1=E\left(\frac{1}{2}\right)=0}\), \(\displaystyle{ a_2=E(1)=1}\), \(\displaystyle{ a_3=E\left(\frac{3}{2}\right)=1}\), \(\displaystyle{ b_4=E(2)=2}\), \(\displaystyle{ b_5=E\left(\frac{5}{2}\right)=2}\), \(\displaystyle{ b_6=E(3)=3}\) itd.

Więc dla \(\displaystyle{ n=\frac{1}{2}(-5+(-1)^{1+k}+4k)}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N^{+}}}\) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) przyjmuje tylko wartości parzyste a dla \(\displaystyle{ n=\frac{1}{2}(-1+(-1)^{1+k}+4k)}\) tylko wartości nieparzyste.

Tyle wymyśliłam, ale niestety nie umiem tego wykorzystać. Nawet nie wiem czy w dobrym kierunku idę.

Początkowo rozbiłam to na dwa szeregi (wykorzystując powyższe wzory) i oba wyszły mi rozbieżne, ale w porę się zorientowałam, że przecież tak nie można zrobić.

Teraz tak myślę, że trzeba skorzystać tutaj z kryterium Leibniza, ale czy ciąg potrzebny do tego kryterium to po prostu \(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n+1}}\)?

[a4karo]

Spróbuj pogrupować wyrazy po dwa i zobacz czy tak powstały szereg spełnia kryterium Leibniza.

Albo grupuj po cztery i sprawdź, czy otrzymany szereg jest zbieżny.

Na koniec pokaż, że te kawałki po dwa lub cztery dążą do zera, więc zbieżność pogrupowanych szeregów jest taka sama jak szeregu wyjściowego.

[Dasio11]

Można też skorzystać z kryterium Dirichleta.

[gosia111]

Nie korzystałam jeszcze z kryterium Dirichleta, ale przeczytałam przykład, więc spróbuję.

Niech \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ b_n=(-1)^{E(\frac{n}{2})}}\).

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest malejący i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ |S_n|=|1+1-1-1+1+1-1-1+...+(-1)^{E(\frac{n}{2})}|\le2}\), czyli ciąg \(\displaystyle{ (S_n)}\) jest ograniczony.

Zatem z kryterium Dirichleta szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{E(\frac{n}{2})}}{n+1}}\) jest zbieżny.

Dobrze?

[Janusz Tracz]

Jest ok. Można to było też zrobić zauważając, że:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{E(\frac{n}{2})}}{n+1}= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -1\right)^n\left( \frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n+2}\right)}\)

motywacją było wyłuskanie \(\displaystyle{ (-1)^n}\) z \(\displaystyle{ (-1)^{E(\frac{n}{2})}}\) wtedy można już korzystać ze standardowego kryterium Leibniza co zasugerował a4karo. Warto też zauważyć, że nie ma sporej różnicy w tych rozwiązaniach bo kryterium Dirichleta jest uogólnieniem kryterium Leibniza więc zamysł jest taki sam. Warto też przyjrzeć się ciągowi \(\displaystyle{ (-1)^{E(\frac{n}{2})}}\) jak sama zauważyłaś jest to ciąg \(\displaystyle{ 1,1}\) potem \(\displaystyle{ -1,-1}\) i tak dalej, zatem można by zamienić go na \(\displaystyle{ 1,-1,1,-1}\) tylko brać dwa kolejne wyrazy co odpowiada \(\displaystyle{ \left( -1\right)^n\left( \frac{1}{2n+1} +\frac{1}{2n+2}\right)}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{E(\frac{n}{2})}}{n+1}}\) (taka jest heurystyka stojąca za tym rozwiązaniem).