Zbadaj zbieżność szeregu

[janusz47]

Pierwsza granica - poprawnie
Drugą proszę jeszcze raz sprawdzić.

[Janusz Tracz]

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x+\sin x}{x+\cos x}}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ x>1}\) spełnione są nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1} \le \frac{x+\sin x}{x+\cos x} \le \frac{x+1}{x-1}}\)

Funkcje ograniczające spełniają warunki:\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty } \frac{x-1}{x+1} =1}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty } \frac{x+1}{x-1} =1}\),

zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x+\sin x}{x+\cos x}=1}\)

To jest ok.

2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{1+\cos x}{1-\sin x}}\)

Niech \(\displaystyle{ x'_n=n\pi}\) oraz\(\displaystyle{ x''_n=\frac{-\pi}{2}+2n\pi}\) dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Wtedy mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x'_n= \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x''_n= \infty}\). Zatem:

Dla n-parzystych otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+\cos (x'_n)}{1-\sin (x'_n)}=2}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+\cos (x''_n)}{1-\sin (x''_n)}=\frac{1}{2}}\)

Dla n-nieparzystych otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+\cos (x'_n)}{1-\sin (x'_n)}=0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+\cos (x''_n)}{1-\sin (x''_n)}=\frac{1}{2}}\)

Otrzymaliśmy różne granice, więc wyjściowa granica nie istnieje.

To też co co zasady jest ok ale nie potrzeba pokazywać aż tak dużo bo już różnica granic dla parzystych i nieparzystych wystarcza by mówić o nieistnieniu granicy. Jak zamiast \(\displaystyle{ x'_n=n\pi}\) weźmiemy \(\displaystyle{ x'_n=2 \pi n}\) to nie trzeba będzie rozważać dwóch przypadków przez co będzie szybciej a pokażemy tyle samo.

[gosia111]

Super! Bardzo dziękuję!