Rozwinąć w szereg Maclaurina i podać przedział zbieżności

[Zacny_Los]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{ x^{2} }{1+4x}}\). Czy dobrze rozwijam?
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} \cdot \frac{1}{1-(-4x)} = x^{2}\sum_{n=0}^{ \infty } (-4x) ^{n}}\)
Co dalej?

[Janusz Tracz]

Rozwinięcie jest ok, teraz badasz gdzie jest zbieżny, a jest tam gdzie \(\displaystyle{ \left| -4x\right|<1}\) co wynika ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego

[Zacny_Los]

Ok, dzięki, a żeby teraz na tej podstawie wyznaczyć np. 7 pochodną funkcji? Za n wstawiam 7, a za x 0?

\(\displaystyle{ \frac{f ^{(7)} (0)}{7!} = (-1) ^{7} \cdot 4^{7} \cdot ...}\) ?

[Janusz Tracz]

Trzeba zobaczyć co stoi przy \(\displaystyle{ x^7}\) a nie po prostu wstawić \(\displaystyle{ n=7}\). Siódmą potęgę dostaniesz wstawiając \(\displaystyle{ n=5}\) i a współczynniki będzie równy \(\displaystyle{ \frac{f ^{(7)} (0)}{7!}}\). Stąd równość \(\displaystyle{ (-4)^5=\frac{f ^{(7)} (0)}{7!}}\). Stwierdzanie, że coś podstawiamy pod \(\displaystyle{ x}\) jest niepotrzebne bo tego nie robimy. Szereg z definicji jest rozwijany w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\)

[Zacny_Los]

Bardzo dziękuję, już więcej rozumiem. Mam podobne pytanie, ale działania bardziej skomplikowane. Mianowicie, czy mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{2}}{3x ^{2}-2 } = \frac{1}{3} + \frac{ \frac{2}{3} }{3 x^{2} -2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{3}{2}x ^{2} +1 } = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } (- \frac{3}{2}x ^{2} ) ^{n}}\)?

Jeśli mam jakieś błędy w obliczeniach to proszę o ich wytknięcie, ale przede wszystkim, czy sposób i suma są OK?-- 20 cze 2019, o 21:59 --(Myślałem, że mogę jeszcze edytować poprzedni wpis, ale już nie)
Skorzystam z okazji i dodam jeszcze jedno pytanie dotyczące tego samego zagadnienia:
Funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4-x ^{2} }}\) oraz jej drugą pochodną rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać promienie ich zbieżności.

Otrzymuję:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1- (\frac{x}{2})^{2} } = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{x}{2}) ^{2n}}\)
Promieniem zbieżności byłby cały zbiór liczb rzeczywistych, bo przy \(\displaystyle{ x}\) nie ma żadnych \(\displaystyle{ n}\) (już tak łopatologicznie napiszę), żeby móc wyliczyć promień, czy to prawda?

I pochodna:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{2x}{(4-x^{2})^{2}} = \frac{x}{(4-x^{2})} \cdot \frac{2}{(4-x ^{2}) } = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{1- (\frac{x}{2})^{2} } \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1- (\frac{x}{2})^{2} } = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } ( \frac{x}{2} )^{2n} \cdot \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty } ( \frac{x}{2})^{2n}}\)

Mam wątpliwości czy mogę zrobić takie mnożenie. Czy powinienem raczej zrobić różnicę ułamków?
Przedział zbieżności ten sam co wcześniej? Czy sposoby są dobre? Co jest źle?
(I proszę serdecznie o pomoc z wcześniejszym wstawionym problemem )

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{2}}{3x ^{2}-2 } = \frac{1}{3} + \frac{ \frac{2}{3} }{3 x^{2} -2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{3}{2}x ^{2} +1 } = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } (- \frac{3}{2}x ^{2} ) ^{n}}\)

Pomijając już błędy obliczeniowe w ostatniej równości, nie prościej było by tak:

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{3x ^{2}-2} = -\frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1- \frac{3}{2} x^2}=-\frac{x^2}{2} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{3}{2} \right)^nx^{2n}}\)

Otrzymuję:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1- (\frac{x}{2})^{2} } = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{x}{2}) ^{2n}}\)

To wygląda ok.

Promieniem zbieżności byłby cały zbiór liczb rzeczywistych, bo przy x nie ma żadnych n (już tak łopatologicznie napiszę), żeby móc wyliczyć promień, czy to prawda?

Nie to nie jest prawda. Co to znaczy, że przy \(\displaystyle{ x}\) nie ma \(\displaystyle{ n}\)? Jak to nie ma jak są \(\displaystyle{ x}\) jest poodnoszony do potęgi \(\displaystyle{ n}\). Poza tym wstaw na przykład \(\displaystyle{ x=4}\) i zobacz co się stanie. Promień zbieżność trzeba określi tak jak w pierwszym przykładzie tego wątku.

I pochodna:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{2x}{(4-x^{2})^{2}} = \frac{x}{(4-x^{2})} \cdot \frac{2}{(4-x ^{2}) } = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{1- (\frac{x}{2})^{2} } \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1- (\frac{x}{2})^{2} } = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } ( \frac{x}{2} )^{2n} \cdot \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty } ( \frac{x}{2})^{2n}}\)

Mimo, że wygląda to poprawnie (w obliczenia nie wnikam, mówię o zasadzi ogólnej) to jest mało pomocne (o ile nie chcesz się bawić w iloczyn szeregów Cauchego). Można wymnożyć te szeregi ale jest to żmudne i mało fascynujące zadanie. Łatwiej i szybciej jest skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu szerów potęgowych i zróżniczkować stronami wcześniejszą równość

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x}{2}\right) ^{2n} \ \ \Bigg| \ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{8} \sum_{n=1}^{ \infty }2n\left( \frac{x}{2}\right) ^{2n-1}}\)

Czy powinienem raczej zrobić różnicę ułamków?

Tak też można, ułamki proste powinny pomóc. Ale wydaje mi się, że różniczkowanie będzie najszybsze.

Przedział zbieżności ten sam co wcześniej?

Nie, znowu trzeba sprawdzić powołując się na odpowiednie kryterium (np Cauchego) oraz sprawdzić na krańcach przedziału. Na pewno jednak przedział zbieżność nie będzie większy w sensie zawierania się zbiorów co do zbioru zbieżności \(\displaystyle{ f(x)}\) i na pewno nie będzie to \(\displaystyle{ \RR}\).

[Zacny_Los]

Sugerowałem się tym, że jest taki wzór na promień przedziału:
\(\displaystyle{ R = \lim_{ \to \infty } | \frac{c _{n} }{ c_{n+1} } |}\)

W każdym razie:
Obliczając jak w pierwszym przykładzie, mam przedział zbieżności:
\(\displaystyle{ | \frac{3}{2} x ^{2} | < 1}\)
Więc \(\displaystyle{ x<2 \wedge x>-2}\)

Czy dobrze?
Więc 7-ma pochodna będzie:
\(\displaystyle{ -\frac{x^2}{2} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{3}{2} \right)^{17} x^{ \frac{17}{2} }}\)?

W ostatnim przykładzie, korzystając ze wzoru na promień, który podałem:
\(\displaystyle{ R = \lim_{n \to \infty } \left| \frac{2n}{2n+1} \right| = 1}\), a \(\displaystyle{ x _{0} = 0}\)?

[Janusz Tracz]

Obliczając jak w pierwszym przykładzie, mam przedział zbieżności:
\(\displaystyle{ | \frac{3}{2} x ^{2} | < 1}\)
Więc \(\displaystyle{ x<2 \wedge x>-2}\)

Nie. Nie tak się rozwiązuje nierówność. Równoważnie mamy \(\displaystyle{ x^2< \frac{2}{3}}\) a stąd wynika, że \(\displaystyle{ x\in\left( - \sqrt{ \frac{2}{3}},\sqrt{ \frac{2}{3} \right)}\)

Więc 7-ma pochodna będzie:
\(\displaystyle{ -\frac{x^2}{2} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{3}{2} \right)^{17} x^{ \frac{17}{2} }}\)?

Nie mam pojęcia o czym mówisz, bez urazy ale to bełkot. Jaka pochodna? Czego? W jakim punkcie? Same matematyczne znaczki bez komentarza nic nikomu nie mówią.

W ostatnim przykładzie, korzystając ze wzoru na promień, który podałem:
\(\displaystyle{ R = \lim_{n \to \infty } \left| \frac{2n}{2n+1} \right| = 1}\)

To są skutki nie trzymania się zasady jeden post jedno pytanie, robi się bałagan. Domyślam się, że mówisz o obliczeniu promienia zbieżności poniższego szeregu potęgowego

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{8} \sum_{n=1}^{ \infty }2n\left( \frac{x}{2}\right) ^{2n-1}}\)

Jeśli tak to zrobiłeś to źle. Jeśli już koniecznie chcesz korzystać z tego twierdzenia to zobacz tu:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego-Hadamarda

. Ciągiem \(\displaystyle{ a_n}\) (oznaczenia jak w linku) nie jest \(\displaystyle{ 2n}\) (a nawet gdyby był to trzeba wtedy liczyć granicę \(\displaystyle{ \frac{2n}{2n+{\red{2}}}}\)). W tym przypadku ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) definiowany jest wzorem

\(\displaystyle{ a_n= \begin{cases} \frac{n+1}{2^{n+3}} \ \ \ \text{dla} \ n \ \text{nieparzystych} \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \text{dla} \ n \ \text{parzystych}\end{cases}}\)

wtedy mamy \(\displaystyle{ f'(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }a_nx^{{\red{n}}}}\) co pozwala liczyć promień zbieżności jako:

\(\displaystyle{ R^{-1}= \lim_{ n\to \infty }\sup \sqrt[n]{\left| a_n\right| }}\)

granica ciąg \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\left| a_n\right| }}\) ma dwa punkty skupienia \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jako, że liczymy granicę górną to:

\(\displaystyle{ R^{-1}= \lim_{ n\to \infty }\sup \sqrt[n]{\left| a_n\right| }= \frac{1}{2}}\)

czyli \(\displaystyle{ R=2}\) (jeszcze szybkie sprawdzenie krańców na których nie jest spełniony nawet warunek konieczny) i można pisać, że \(\displaystyle{ x\in\left( -2,2\right)}\). Zrobienie tego zadania za pomocą kryterium Cauchego jest szybsze i prostsze dlatego je polecałem.

[Zacny_Los]

Ok, bardzo dziękuję za odpowiedź i za cierpliwość, wdarło się kilka pomyłek po drodze, więc pytania mogły być rzeczywiście niezrozumiałe. Niemniej dziękuję, dużo się nauczyłem.