Zbadaj zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Zacny_Los
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 17 gru 2017, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Zacny_Los »

W pierwszej chwili myślałem, żeby zrobić z d'Alemberta, ale to chyba nie to... Nie mam pojęcia co tu zastosować.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n 2^{n} +1 }{n 3^{n} +1 }}\)
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Benny01 »

Kryterium Cauchy'ego
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

Wystarczy kryterium porównawcze:
\(\displaystyle{ \frac{n 2^{n} +1 }{n 3^{n} +1 }< \frac{n2^n+n2^n}{n3^n}=2\cdot\left( \frac 2 3\right)^n}\)
a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2\cdot\left( \frac 2 3\right)^n}\)
jest zbieżny (jako szereg geometryczny o wartości bezwzględnej ilorazu mniejszej niż \(\displaystyle{ 1}\)).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Janusz Tracz »

W pierwszej chwili myślałem, żeby zrobić z d'Alemberta
Więc nie myślałeś źle, powinieneś powalczyć dalej. Granica wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) zatem dostaniesz zbieżność (co nie jest zaskoczeniem patrząc na rozwiązanie Premislava).
ODPOWIEDZ