Udowdnij własność szeregów dodatnich,przemienność i łączność

[Dasio11]

Ok, to można zrobić tak. Ciąg liczb rzeczywistych to nic innego jak funkcja \(\displaystyle{ a : \NN \to \RR}\), więc żeby podkreślić ten fakt, od tej pory będę pisać \(\displaystyle{ a(n)}\) zamiast \(\displaystyle{ a_n}\). Dla funkcji \(\displaystyle{ \sigma : F \to \RR}\) o skończonej dziedzinie oznaczmy przez \(\displaystyle{ \sum \sigma}\) sumę wszystkich wartości \(\displaystyle{ \sigma(f)}\) po \(\displaystyle{ f \in F}\). Później zdefiniuję to ściślej, ale na razie zobaczmy, jak wygląda dowód problematycznej nierówności:

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\sum_{i=1}^I \sum_{n \in A_i} a(n) & \stackrel{(1)}{=} \sum_{i=1}^I \sum a \upharpoonright A_i \stackrel{(2)}{=} \sum a \upharpoonright \bigcup_{i=1}^I A_i \\
& \stackrel{(3)}{=} \sum a \upharpoonright \{ 1, \ldots, N \} + \sum a \upharpoonright \left( \bigcup_{i=1}^I A_i \setminus \{ 1, \ldots, N \} \right) \\
& \stackrel{(4)}{\ge} \sum a \upharpoonright \{ 1, \ldots, N \} \stackrel{(5)}{=} \sum_{n=1}^N a(n).
\end{align*} $}\)

No i z czego tu korzystamy?

\(\displaystyle{ (0)}\) Dla ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left< b_k \right>}\) suma \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^K b_i}\) ma standardową ścisłą definicję indukcyjną:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^0 b_k = 0 \\[1ex]
\sum_{k=1}^{K+1} b_k = \sum_{k=1}^K b_k + b_{K+1},}\)

natomiast nie widziałem nigdy ścisłej definicji sumy typu \(\displaystyle{ \sum_{n \in A_i} a(n)}\), możemy zatem spokojnie zdefiniować ją tak, by była równa \(\displaystyle{ \sum a \upharpoonright A_i}\). Wracamy więc do pytania: jak zdefiniować \(\displaystyle{ \sum \sigma}\) dla funkcji \(\displaystyle{ \sigma : F \to \RR}\) o skończonej dziedzinie?

Skoro \(\displaystyle{ F}\) jest skończony, to istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ K}\) i bijekcja \(\displaystyle{ f : \{ 1, \ldots, K \} \to F}\). Dla dowolnej takiej pary określmy

\(\displaystyle{ S(\sigma, K, f) = \sum_{k=1}^K \sigma(f(k)).}\)

Można pokazać, że

\(\displaystyle{ (6)}\) Liczba \(\displaystyle{ S(\sigma, K, f)}\) nie zależy od wyboru liczby \(\displaystyle{ K}\) i bijekcji \(\displaystyle{ f}\),

możemy więc zdefiniować \(\displaystyle{ \sum \sigma}\) jako tę wspólną wartość \(\displaystyle{ S(\sigma, K, f)}\) dla wszystkich możliwych par \(\displaystyle{ (K, f)}\). Na razie nie zamierzam dowodzić \(\displaystyle{ (6)}\), bo inaczej mój post rozrósłby się do monstrualnych rozmiarów i nikt by go nie przeczytał , ale jak ktoś bardzo zechce, to mogę to pokazać.

\(\displaystyle{ (1)}\) zachodzi więc wprost z powyższej definicji.

\(\displaystyle{ (2)}\) można udowodnić indukcyjnie, korzystając z:

\(\displaystyle{ (7)}\) Jeśli \(\displaystyle{ \sigma : F \to \RR}\) jest funkcją o skończonej dziedzinie oraz \(\displaystyle{ F = F_1 \cup F_2}\) jest rozbiciem \(\displaystyle{ F}\) na dwa rozłączne podzbiory, to

\(\displaystyle{ \sum \sigma = \sum \sigma \upharpoonright F_1 + \sum \sigma \upharpoonright F_2}\).

Dowód \(\displaystyle{ (7)}\) znów pozostawię dla chcących, a indukcja przebiega tak: dla \(\displaystyle{ I = 0}\) mamy

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^0 \sum a \upharpoonright A_i = 0 = \sum a \upharpoonright \varnothing = \sum a \upharpoonright \bigcup_{i=1}^0 A_i.}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ I \ge 0}\) i załóżmy, że równość \(\displaystyle{ (2)}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ I}\). Wtedy

\(\displaystyle{ {\sum_{i=1}^{I+1} \sum a \upharpoonright A_i & = \sum_{i=1}^I \sum a \upharpoonright A_i + \sum a \upharpoonright A_{I+1} \\
& = \sum a \upharpoonright \bigcup_{i=1}^I A_i + \sum a \upharpoonright A_{I+1} \stackrel{(7)}{=} \sum a \upharpoonright \bigcup_{i=1}^{I+1} A_i.}}\)

Faktu, że \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{I+1} A_i = \bigcup_{i=1}^I A_i \cup A_{I+1}}\) jest rozbiciem na rozłączny podzbiory, dowodzimy ręcznie.

\(\displaystyle{ (3)}\) wynika wprost z \(\displaystyle{ (7)}\) i z faktu, że \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, N \} \subseteq \bigcup_{i=1}^I A_i}\), bo wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^I A_i = \{ 1, \ldots, N \} \cup \left( \bigcup_{i=1}^I A_i \setminus \{ 1, \ldots, N \} \right)}\) jest rozbiciem na rozłączne podzbiory.

\(\displaystyle{ (4)}\) wynika, po zastosowaniu definicji sumy \(\displaystyle{ \sum a \upharpoonright \left( \bigcup_{i=1}^I A_i \setminus \{ 1, \ldots, N \} \right)}\), z faktu:

\(\displaystyle{ (8)}\) Jeśli \(\displaystyle{ \left< b_k : 1 \le k \le K \right>}\) jest ciągiem o nieujemnych wartościach, to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^K b_k \ge 0}\),

któreg dowodzimy przez indukcję względem \(\displaystyle{ K}\).

\(\displaystyle{ (5)}\) wynika wprost z definicji sumy \(\displaystyle{ \sum a \upharpoonright \{ 1, \ldots, N \}}\) dla bijekcji \(\displaystyle{ \mathrm{id} : \{ 1, \ldots, N \} \to \{ 1, \ldots, N \}}\).


Jak widać, nie jest łatwo coś naprawdę formalnie udowodnić. O ile jednak taki dowód domyka rozumowanie pod względem ścisłości, to dla normalnego człowieka nie jest specjalnie bardziej przekonujący od tego, który podałem w poprzednim poście, dlatego zazwyczaj nie warto się tak męczyć.

[Bran]

Co znaczy symbol \(\displaystyle{ \upharpoonright}\)?

Szukałem w różnych spisach symboli, ale nie znalazłem nic po polsku, a po angielsku nie bardzo rozumiem o co tam chodzi.

[Dasio11]

Jeśli \(\displaystyle{ f : B \to C}\) jest funkcją a \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), to \(\displaystyle{ f \upharpoonright A}\) oznacza obcięcie \(\displaystyle{ f}\) do \(\displaystyle{ A}\), czyli funkcję \(\displaystyle{ (f \upharpoonright A) : A \to C}\), taką że \(\displaystyle{ (f \upharpoonright A)(a) = f(a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in A}\).

[Bran]

Dziękuję bardzo za tak ogromną pomoc!