Suma szeregu

[El3na]

Jak obliczyć sumę takiego szeregu?
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{(-1)^{n+1} n}{3^{n}}}\)
Czy trzeba te szeregi rozpatrzyć osobno dla nieparzystych i parzystych wyrazów? I wtedy ta suma wychodzi 0?

[Premislav]

Nie trzeba.
Dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} nx^n= \sum_{n=1}^{\infty} nx^n= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n}x^n\\= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty }x^n= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{1-x} \\=\frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^{\inty} x^k=\frac{x}{(1-x)^2}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ x=-\frac 1 3}\) i mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ -1}\).

[El3na]

aa faktycznie,czyli suma szeregu wychodzi \(\displaystyle{ \dfrac{3}{16}}\) ,dziękuje

[Premislav]

Proszę bardzo.

[kerajs]

Inaczej:
\(\displaystyle{ S=\left( \frac{1}{3}+ \frac{-1}{9}+ \frac{1}{27}+ \frac{-1}{81}+... \right) - \frac{1}{3}S\\
\frac{4}{3}S= \frac{ \frac{1}{3} }{1-\frac{-1}{3}} \\
S=\frac{3}{16}}\)