ile wynosi ta granica

[degel123]

Cześć ile wynosi granica tego wyrażenia przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\)? tam mamy na zmiane + i - i w mianowniku kolejne potęgi \(\displaystyle{ n}\).


\(\displaystyle{ S_n=n\left[1-n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-...\right)\right]=n\left(1-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+...\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3n}+...}\)

Czy to jest po prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)bo każdy ułamek zmierza do 0, czy z racji że tych ułamków jest nieskończenie wiele to trzeba to jakoś inaczej rozpisać?

[Premislav]

Zauważmy, ze
\(\displaystyle{ \frac 1 n-\frac 1{2n^2}+\frac1{3n^3}\ldots=\ln\left( 1+\frac 1 n\right)}\).

W tej formie bardziej mi odpowiada. Dalej udowadniamy
\(\displaystyle{ x-\frac{x^2}{2}\le \ln\left( 1+x\right)\le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}3}\)
w nieujemnych i stąd mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 n-\frac{1}{2n^2}\le \ln\left( 1+\frac 1 n\right) \le \frac 1 n-\frac{1}{2n^2}+\frac1{3n^3}}\)
Dalej łatwo.

-- 21 maja 2019, o 20:09 --

Oczywiście nie można natomiast wnioskować bezpośrednio, ze suma nieskończenie wielu ciągów dążących do zera ma granicę zero

[degel123]

Ja to własnie robie na odwrot, mam cos takiego
\(\displaystyle{ S_n=n\ln\left[ e\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right]=n\ln \left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\right]=n\left[ \ln e-n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right]}\)

i to tutaj rozpisuje logarytm i mam to co podalem w pierwszym poście. Podobno nie moge na tej podstawie stwierdzic ze ta granca wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), ale nie rozumiem czemu. Dostajemy nieskończenie wiele ułamków które dążą do 0, czy własnie dlatego ze jest ich nieskonczenie wiele nie mozemy stwierdzic ze ich granica w sumie daje 0?

[Jan Kraszewski]

JDostajemy nieskończenie wiele ułamków które dążą do 0, czy własnie dlatego ze jest ich nieskonczenie wiele nie mozemy stwierdzic ze ich granica w sumie daje 0?

Tak.

JK

[degel123]

No okej chciałem się właśnie upewnić czy można w ten sposób to zrobić czy nie. Rozumiem że tak można tylko dla skończonej ilości. Czy ktoś zna przykład gdy moje rozumowanie zawodzi?

[MrCommando]

Na przykład dla ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{1+2+\dots+n}{n^2}}\) to prowadzi do błędnego wyniku. Granica tego ciągu jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \left[ 1 - \frac{1}{x} \ln(1+x) \right] = \frac{1}{x} \left[ 1 - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} \cdot x^k \right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+2} \cdot x^k = P(x)}\)

Wstawiając \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\), dostajemy

\(\displaystyle{ n \left[ 1 - n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right] = P \left( \frac{1}{n} \right)}\).

Teraz można powołać się na ciągłość szeregów potęgowych, wnioskując że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \left[ 1 - n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right] = P(0) = \frac{1}{2}}\).