Mamy szereg harmoniczny: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\).
Dowód rozbieżności:
Niech \(\displaystyle{ S_n = 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_n = \infty}\)
Weźmy dwa podciągi: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}\frac{1}{3^n}}\), pierwszy z nich przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\) (jako ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)), drugi natomiast przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) zbiega do \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}}\).
\(\displaystyle{ 1 \neq \frac{1}{2}}\), a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) są dodatnie, więc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} S_n = \infty}\).
Ale zastanawiam się, czy pokazanie takich dwóch podciągów jest wystarczające, bo
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n}\) też ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, a nie ma granicy żadnej, nawet niewłaściwej.
Rozbieżność szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Rozbieżność szeregu
Gafa->
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 11 lut 2019, o 11:51 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 1 raz.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Rozbieżność szeregu
Ciąg sum częściowych szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}}\) to ciąg
\(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\).
Jego podciągi są postaci
\(\displaystyle{ S_{n_m} = \sum_{k=1}^{n_m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n_m}}\),
na przykład dla \(\displaystyle{ n_m = 2^m}\) dostajemy podciąg
\(\displaystyle{ S_{2^m} = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2^m}}\).
Podciągiem \(\displaystyle{ S_n}\) nie jest zaś, jak zdajecie się sądzić, ciąg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}}\).
Mówiąc prościej, branie podciągu polega na omijaniu niektórych sum częściowych, a nie na omijaniu niektórych z sumowanych wyrazów.
Dlatego zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}}\) i podobnych nie mówi nich o zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}}\).
\(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\).
Jego podciągi są postaci
\(\displaystyle{ S_{n_m} = \sum_{k=1}^{n_m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n_m}}\),
na przykład dla \(\displaystyle{ n_m = 2^m}\) dostajemy podciąg
\(\displaystyle{ S_{2^m} = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2^m}}\).
Podciągiem \(\displaystyle{ S_n}\) nie jest zaś, jak zdajecie się sądzić, ciąg
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}}\).
Mówiąc prościej, branie podciągu polega na omijaniu niektórych sum częściowych, a nie na omijaniu niektórych z sumowanych wyrazów.
Dlatego zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}}\) i podobnych nie mówi nich o zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}}\).