Rozbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Rozbieżność szeregu

Post autor: PieknoMatematyki »

Mamy szereg harmoniczny: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\).

Dowód rozbieżności:
Niech \(\displaystyle{ S_n = 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_n = \infty}\)

Weźmy dwa podciągi: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}\frac{1}{3^n}}\), pierwszy z nich przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\) (jako ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)), drugi natomiast przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) zbiega do \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ 1 \neq \frac{1}{2}}\), a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) są dodatnie, więc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} S_n = \infty}\).

Ale zastanawiam się, czy pokazanie takich dwóch podciągów jest wystarczające, bo
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n}\) też ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, a nie ma granicy żadnej, nawet niewłaściwej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Rozbieżność szeregu

Post autor: a4karo »

To, co pokazałeś niczego nie dowodzi.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Rozbieżność szeregu

Post autor: Unforg1ven »

Gafa->
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 11 lut 2019, o 11:51 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Rozbieżność szeregu

Post autor: Dasio11 »

Ciąg sum częściowych szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}}\) to ciąg

\(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\).

Jego podciągi są postaci

\(\displaystyle{ S_{n_m} = \sum_{k=1}^{n_m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n_m}}\),

na przykład dla \(\displaystyle{ n_m = 2^m}\) dostajemy podciąg

\(\displaystyle{ S_{2^m} = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2^m}}\).

Podciągiem \(\displaystyle{ S_n}\) nie jest zaś, jak zdajecie się sądzić, ciąg

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}}\).

Mówiąc prościej, branie podciągu polega na omijaniu niektórych sum częściowych, a nie na omijaniu niektórych z sumowanych wyrazów.

Dlatego zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}}\) i podobnych nie mówi nich o zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}}\).
ODPOWIEDZ