Zbieżność szeregu

[hidden55]

Mam problem z szeregiem

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n!}{\left( -2\right) ^{n}}}\)

licząc z kryterium d'Alemberta po obliczeniach dostaję

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{n+1}{2}=\infty}\)

czyli szereg jest rozbieżny.
Jednak mam wątpliwości co do tej metody rozwiązania. Będzie to przecież szereg naprzemienny, czy w takim razie nie trzeba sprawdzić, czy nie będzie on warunkowo zbieżny? Jak postępować w tego typu przypadkach?

[Jan Kraszewski]

Mam problem z szeregiem

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n!}{\left( -2\right) ^{n}}}\)

licząc z kryterium d'Alemberta po obliczeniach dostaję

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{n+1}{2}=\infty}\)

Po pierwsze, tu nie wolno stosować kryterium d'Alemberta (jakie są jego założenia?). Po drugie, w rachunkach też się pomyliłeś.

Sprawdziłeś warunek konieczny zbieżności?

JK

[hidden55]

Dlaczego nie mogę korzystać z d'Alemberta (dając wartość bezwzględną)?
Jak obliczyć granicę z warunku koniecznego?

[Janusz Tracz]

Możesz pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{2^n}}\) nie jest zbieżny do zera bo jest ciągiem rosnącym o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (a przynajmniej rosnącym od pewnego miejsca), to już wystarczy aby wnioskować, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{\left( -2\right) ^{n}}}\) też nie może dążyć do zera.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego nie mogę korzystać z d'Alemberta (dając wartość bezwzględną)?

Wtedy nie badasz zbieżności szeregu, tylko zbieżność bezwzględną. Oczywiście, jeśli wyjdzie Ci, że szereg jest zbieżny bezwzględnie, to tym bardziej jest zbieżny, ale wynik negatywny nie daje Ci żadnej informacji.

JK

[Lider_M]

Kilka razy spotkalem sie z tym, ze kryt. d'Alemberta niektorzy formuluja dla szeregow o wyrazach niezerowych, wtedy jezeli rozpatrujemy szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\), i jezeli istnieje granica:
\(\displaystyle{ K:=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,}\)
i jezeli \(\displaystyle{ K<1}\), to szereg jest zbiezny (i mozna dodac, ze bezwzglednie), a gdy \(\displaystyle{ K>1}\) to jest rozbiezny.

Zalezy jaka wersje tego kryt. mial autor watku podawana.

[arek1357]

Można nawet i tak:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} =- \frac{1!}{2^1}+\frac{2!}{2^2}- \frac{3!}{2^3}+\frac{4!}{2^4}-\frac{5!}{2^5} \pm ... \mp}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1!}{2^1}\left( \frac{2}{2}-1 \right)+ \frac{3!}{2^3}\left( \frac{4}{2}-1 \right)+ \frac{5!}{2^5}\left( \frac{6}{2}-1 \right)+...=0+ \frac{3!}{2^3} \cdot 1+\frac{5!}{2^5} \cdot 2+\frac{7!}{2^7} \cdot 3+...= \infty}\)

A można i inaczej i wyjdzie np.:\(\displaystyle{ - \infty}\)

[PieknoMatematyki]

Możesz pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{2^n}}\) nie jest zbieżny do zera bo jest ciągiem rosnącym o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (a przynajmniej rosnącym od pewnego miejsca), to już wystarczy aby wnioskować, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{\left( -2\right) ^{n}}}\) też nie może dążyć do zera.

Okej, pierwszy jest rozbieżny, ale skąd wniosek, że ten drugi w takim razie też nie jest zbieżny, a nawet jak zbieżny, to na pewno nie do zera?

[Janusz Tracz]

Bo prawdziwe jest twierdzenie

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=0 \ \Leftrightarrow \ \lim_{n \to \infty } \left| a_n\right|=0}\)

zatem gdyby \(\displaystyle{ \frac{n!}{\left( -2\right) ^{n}}}\) do zera zbiegał to \(\displaystyle{ \frac{n!}{2^n}}\) też by musiał zbiegać do zera, inaczej dostajemy sprzeczność.

[PieknoMatematyki]

Dzięki.