Suma szeregu

[TorrhenMathMeth]

Wyznacz sumę szeregu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}}\). Starannie uzasadnij poprawność rozumowania. Nie wiem jak za to się zabrać szczerze mówiąc .

[yorgin]

Wyjdź od tego, że dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) zachodzi

\(\displaystyle{ frac{1}{1-x}=sum_{n=0}^{+infty} x^n}\)

i następnie zróżniczkuj całość względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

Popraw nieco całość tak, aby prawa strona równości była postaci

\(\displaystyle{ sum_{n=0}^{+infty}mbox{(jakiś współczynnik)} x^n}\)

i ponownie zróżniczkuj równość obustronnie względem \(\displaystyle{ x}\).

Całość jest podobna do techniki jak w temacie 437328.htm

[TorrhenMathMeth]

Wszystko bardzo fajnie, ale nie mam do dyspozycji rachunku różniczkowego.

[Janusz Tracz]

To zrób tak jak TU

[Premislav]

Jakieś zwalone masz te studia (no offence), że każą Ci to robić bez rachunku różniczkowego. Inaczej:
niech
\(\displaystyle{ S_N= \sum_{n=1}^{N} \frac{n^2}{2^n}}\),
Mamy
\(\displaystyle{ S_{N}= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}=\\= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{n^2+2n+1}{2^{n+1}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ S_N=\frac 1 2S_{N-1}+ \sum_{n=0}^{N-1} \frac{n}{2^n}+ \sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{2^{n+1}}}\)
Tak \(\displaystyle{ S_N,}\) jak i \(\displaystyle{ \sum_{n<N}^{} \frac n {2^n}}\), a także \(\displaystyle{ \sum_{n<N}^{} \frac{1}{2^{n+1}}}\) są zbiezne (ten ostatni to suma częściowa szeregu geometrycznego, a dwa pierwsze zbiegają np. z d'Alemberta, to jest trywialne).
Jeśli więc
\(\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n}}\), to z powyższej zależności dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac 1 2 S= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{2^n}+ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n+1}}}\),
tymczasem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{2^n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}=\\= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\frac{1}{2^n}}\)
Zmiana kolejności sumowania jest operacją, która nie zawsze działa, ale tu akurat tak, bo ja tak mówię. Zamiast niej można podobnie rozpisać sumy częściowe
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n}{2^n}}\), jak to uczyniłem z
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}\frac{n^2}{2^n}}\)

[Milczek]

Przecież to można zrobić bez żadnych rachunków różniczkowych czy innych cud. Wrzucę, tylko odnajdę pomysł który mam z tyłu głowy.

[Premislav]

No to przecież wyżej napisałem, jak to zrobić bez rachunku różniczkowego, a poza tym cud to jest w mianowniku, a nie w dopełniaczu.

[a4karo]

\(\displaystyle{ P=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}=\frac12+\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{2^n}=\frac12+\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac12+P/2+1}\)

Wylicz stąd \(\displaystyle{ P}\).
Taki sam myk zrób z oryginalnym szeregiem

[TorrhenMathMeth]

\(\displaystyle{ \frac12+\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac12+P/2+1}\)

Rozumiem, że tu nastąpił jakiś skrót myślowy, niestety nie widzę dlaczego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=P/2+1}\).
Mógłbyś mi to wyjaśnić pokrótce?-- 20 gru 2018, o 21:30 --Czy tu nie ma błędu tak naprawdę? Bo z tej równości wychodzi \(\displaystyle{ P = 3}\) a powinno wyjść \(\displaystyle{ P = 2}\)

[Jan Kraszewski]

Rozumiem, że tu nastąpił jakiś skrót myślowy, niestety nie widzę dlaczego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=P/2+1}\).

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac12\cdot\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^n}=\frac12\cdot\left( \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\right)=\frac12\cdot(P+1) =\frac{P}{2}+\frac12}\)

czyli jednak trochę inaczej.

JK

[Unforg1ven]

\(\displaystyle{ \frac12+\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac12+P/2+1}\)

Rozumiem, że tu nastąpił jakiś skrót myślowy, niestety nie widzę dlaczego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=P/2+1}\).
Mógłbyś mi to wyjaśnić pokrótce?

Bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}}\)
Lewy człon:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{n}\cdot 2 }=\frac{P}{2}}\)
Prawy człon jest sumą szeregu geometrycznego.

[a4karo]

Modulo jakże słuszna uwaga JK:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2^{n+1}}=P/2+1/2}\)

[Milczek]

No to przecież wyżej napisałem, jak to zrobić bez rachunku różniczkowego, a poza tym cud to jest w mianowniku, a nie w dopełniaczu.

Z dedykacją dla Premislav, dziękuję za dbałość o to abym dokładniej naciskał klawisze xD

Poza tym zwalone jest twoje podejście jeśli dziwisz się że wymaga się od studenta stosowania metod i wiedzy która była mu przedstawiona na wykładzie/ćwiczeniach a nie stosowania metod skrótowych które się zapewne pozna za kilka miesięcy a których stosowanie teraz jest bezcelowe w celu opanowania bieżącego materiału.

Proponuje takie rozwiązanie :
Jasne jest że :
\(\displaystyle{ S = \sum_{}^{}\frac{n^2}{2^n} = \sum_{}^{}\frac{ \left( n+1 \right) ^2}{2^{n+1}}}\)

Zauważmy że :
\(\displaystyle{ S = 2S - S = 2 \sum_{}^{}\frac{ \left( n+1 \right) ^2}{2^{n+1}} - \sum_{}^{}\frac{n^2}{2^n} = \sum_{}^{}\frac{2n+1}{2^n} = \sum_{}^{}\frac{2n}{2^n} + \sum_{}^{}\frac{1}{2^n} = 2\sum_{}^{}\frac{n}{2^n} + \sum_{}^{}\frac{1}{2^n} = 2 \left( 2\sum_{}^{}\frac{n+1}{2^{n+1}} - \sum_{}^{}\frac{n}{2^n} \right) + \sum_{}^{}\frac{1}{2^n}}= 2\sum_{}^{}\frac{1}{2^n}+ \sum_{}^{}\frac{1}{2^n} = 6}\)

[Jan Kraszewski]

Proponuje takie rozwiązanie :
Jasne jest że :
\(\displaystyle{ S = \sum_{}^{}\frac{n^2}{2^n} = \sum_{}^{}\frac{ \left( n+1 \right) ^2}{2^{n+1}}}\)

Zauważmy że :
\(\displaystyle{ S = 2S - S = 2 \sum_{}^{}\frac{ \left( n+1 \right) ^2}{2^{n+1}} - \sum_{}^{}\frac{n^2}{2^n} = \sum_{}^{}\frac{2n+1}{2^n} = \sum_{}^{}\frac{2n}{2^n} + \sum_{}^{}\frac{1}{2^n} = 2\sum_{}^{}\frac{n}{2^n} + \sum_{}^{}\frac{1}{2^n} = 2 \left( 2\sum_{}^{}\frac{n+1}{2^{n+1}} - \sum_{}^{}\frac{n}{2^n} \right) + \sum_{}^{}\frac{1}{2^n}}= 2\sum_{}^{}\frac{1}{2^n}+ \sum_{}^{}\frac{1}{2^n} = 6}\)

Bez granic sumowania to wygląda po prostu niechlujnie.

JK

[Premislav]

Poza tym zwalone jest twoje podejście jeśli dziwisz się że wymaga się od studenta stosowania metod i wiedzy która była mu przedstawiona na wykładzie/ćwiczeniach

Na analizie uczy się metody zaburzania sum? No nie sądzę (prędzej na jakiejś matematyce dyskretnej, której nie ma na pierwszym semestrze).
Już pomijając to, że razem z a4karo żeście napisali w zasadzie to samo, co ja, tylko krócej.

Dodam tylko, że jak ktoś lubi, to można też użyć rachunku różnicowego:
258511.htm
(np. metody sumowania przez części).