Zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
inf2017
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 sty 2018, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: inf2017 » 3 maja 2018, o 01:36

Witam. Mam problem z następującym zadaniem:
Zbadać czy następujący szereg jest zbieżny warunkowo:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{[2+(-2)^n]^n}{4^n} \sin ( \frac{n \pi}{2} )}\)

W odpowiedziach jest napisane, że szereg jest rozbieżny. Bardzo proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 3 maja 2018, o 02:16 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14519
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 3 maja 2018, o 02:11

Szereg ten nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, ponieważ np. dla \(\displaystyle{ n=4k+1, \ k=2,3\ldots}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \frac{[2+(-2)^n]^n}{4^n}\sin\left( \frac{n \pi}{2} \right) \right|= \frac{(2^{4k+1}-2)^{4k+1}}{4^{4k+1}} > \frac{4^{4k+1}}{4^{4k+1}}=1}\)

inf2017
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 sty 2018, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: inf2017 » 3 maja 2018, o 02:21

Bardzo dziękuję za odpowiedź i przepraszam, że źle zapisałem sinusa.

ODPOWIEDZ