Zadanie polega na udowodnieniu poniższej tożsamości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a _{k} b _{k} = \sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1})B _{k}+a _{n}B _{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ B _{k}= \sum_{j=1}^{k}b _{j}}\)
Jestem w stanie zrobić te zadanie gdy zapisze to bez znaku \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\), jako zwykłą sumę(np. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a _{k} b _{k}=a _{1}b _{1}+a _{2}b _{2}+...+a _{n}b _{n}}\)), ale interesuje mnie rozwiązanie zadania z użyciem znaku \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\).
Dowodzenie tożsamości
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: tożsamość szeregu
To nie jest żaden szereg, a równania się nie dowodzi (równanie można rozwiązać, natomiast udowodnić można równość, tożsamość, własność itd.).
\(\displaystyle{ P= \sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1})B _{k}+a _{n}B _{n}=\sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1}) \sum_{j=1}^{k}b _{j}+a _{n}
\sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\= \sum_{k=1}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \sum_{j=1}^{k}b_j +a _{n} \sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\=\sum_{k=1}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=2}^{n}a_{k} \sum_{j=1}^{k-1}b_j +a _{n} \sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\=a_1 b_1+ \sum_{k=2}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=2}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k-1}b_j-a_n \sum_{j=1}^{n-1}b_j+a_n \sum_{j=1}^{n}b_j=\\=a_1b_1+ \sum_{k=2}^{n-1}a_k\left( \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{j=1}^{k-1}b_j \right) +a_n\left( \sum_{j=1}^{n}b_j- \sum_{j=1}^{n-1}b_j\right) = \\=\sum_{k=1}^{n} a_k b_k=L}\)
\(\displaystyle{ P= \sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1})B _{k}+a _{n}B _{n}=\sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1}) \sum_{j=1}^{k}b _{j}+a _{n}
\sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\= \sum_{k=1}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \sum_{j=1}^{k}b_j +a _{n} \sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\=\sum_{k=1}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=2}^{n}a_{k} \sum_{j=1}^{k-1}b_j +a _{n} \sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\=a_1 b_1+ \sum_{k=2}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=2}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k-1}b_j-a_n \sum_{j=1}^{n-1}b_j+a_n \sum_{j=1}^{n}b_j=\\=a_1b_1+ \sum_{k=2}^{n-1}a_k\left( \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{j=1}^{k-1}b_j \right) +a_n\left( \sum_{j=1}^{n}b_j- \sum_{j=1}^{n-1}b_j\right) = \\=\sum_{k=1}^{n} a_k b_k=L}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowodzenie tożsamości
Dzięki za poprawienie i rozwiązanie. Już edytowałem.Premislav pisze:To nie jest żaden szereg, a równania się nie dowodzi (równanie można rozwiązać, natomiast udowodnić można równość, tożsamość, własność itd.).