Dowodzenie tożsamości

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Dowodzenie tożsamości

Post autor: 85213 »

Zadanie polega na udowodnieniu poniższej tożsamości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a _{k} b _{k} = \sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1})B _{k}+a _{n}B _{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ B _{k}= \sum_{j=1}^{k}b _{j}}\)
Jestem w stanie zrobić te zadanie gdy zapisze to bez znaku \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\), jako zwykłą sumę(np. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a _{k} b _{k}=a _{1}b _{1}+a _{2}b _{2}+...+a _{n}b _{n}}\)), ale interesuje mnie rozwiązanie zadania z użyciem znaku \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\).
Ostatnio zmieniony 11 lut 2018, o 03:01 przez 85213, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: tożsamość szeregu

Post autor: Premislav »

To nie jest żaden szereg, a równania się nie dowodzi (równanie można rozwiązać, natomiast udowodnić można równość, tożsamość, własność itd.).

\(\displaystyle{ P= \sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1})B _{k}+a _{n}B _{n}=\sum_{k=1}^{n-1}(a _{k}-a _{k+1}) \sum_{j=1}^{k}b _{j}+a _{n}
\sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\= \sum_{k=1}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \sum_{j=1}^{k}b_j +a _{n} \sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\=\sum_{k=1}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=2}^{n}a_{k} \sum_{j=1}^{k-1}b_j +a _{n} \sum_{j=1}^{n}b _{j}=\\=a_1 b_1+ \sum_{k=2}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{k=2}^{n-1}a_k \sum_{j=1}^{k-1}b_j-a_n \sum_{j=1}^{n-1}b_j+a_n \sum_{j=1}^{n}b_j=\\=a_1b_1+ \sum_{k=2}^{n-1}a_k\left( \sum_{j=1}^{k}b_j- \sum_{j=1}^{k-1}b_j \right) +a_n\left( \sum_{j=1}^{n}b_j- \sum_{j=1}^{n-1}b_j\right) = \\=\sum_{k=1}^{n} a_k b_k=L}\)
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Dowodzenie tożsamości

Post autor: 85213 »

Premislav pisze:To nie jest żaden szereg, a równania się nie dowodzi (równanie można rozwiązać, natomiast udowodnić można równość, tożsamość, własność itd.).
Dzięki za poprawienie i rozwiązanie. Już edytowałem.
ODPOWIEDZ