Matematyka.pl

Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność podanego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{n ^{n} }{3 ^{n}n! }}\)
Zacząłem tak: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{3 ^{n+1}(n+1)! } \cdot \frac{3 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n}(n+1)3 ^{n} n! }{3 ^{n} 3 (n+1) n! }= \lim_{ x\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)
W tym miejscu się zatrzymałem i nie mam pojęcia jak ruszyć dalej, ktoś mógłby wyjaśnić jak obliczyć taką granicę

Z tą granicą to ciężko, ale gdybyś zmienił na

\(\displaystyle{ \lim_{ \red n\black\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)

to będzie łatwiej. Zauważ, że prawdziwe jest oszacowanie

\(\displaystyle{ \frac{(n+1) ^{n} }{3}\ge \frac{n+1 }{3},}\)

a granicę ciągu po prawej łatwo policzyć.

JK

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{3 ^{n+1}(n+1)! } \cdot \frac{3 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n}(n+1)3 ^{n} n! }{3 ^{n} 3 (n+1) n! }}\)

A co zrobiłeś z \(\displaystyle{ n^n}\) w mianowniku?
Powinno wyjść coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^n}{3n^n}= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3}\cdot \left(1+\frac1n\right)^n}\)
no i należy skorzystać z: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac1n\right)^n=e<3}\)

Premislav, dzięki za czujność, nie chciało mi się czytać przekształceń...

JK