Strona 1 z 1

Zbadaj zbieżność szeregu

: 4 lis 2017, o 12:30
autor: karolleo
Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\)

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

: 4 lis 2017, o 12:56
autor: Premislav
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }= \frac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}\)

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac 1 n}\) jest rozbieżny (to raczej znany fakt), zaś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1}\)
Zatem na mocy kryterium ilorazowego (zwanego też asymptotycznym kryterium porównawczym) szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\) też jest rozbieżny.