Zbieżność szeregu

[Intech]

Witam, mam kłopot ze zbadaniem następującego szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{2}^{ \infty } (ln \sqrt[n]{n})^n}\)
Nie wiem jak zacząć. Z jakiego kryterium powinienem skorzystać? Proszę o pomoc.

[Premislav]

Skorzystaj z kryterium Cauchy'ego.

[Intech]

Tak myślałem, ale wtedy mam problem z policzeniem granicy, jakieś wskazówki?

[pawlo392]

Jak weźmiesz samo \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}}\) to co otrzymasz?

[Janusz Tracz]

Albo z porównawczego.

\(\displaystyle{ \left(\ln \sqrt[n]{n} \right)^{n} \le \left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \right)^n \le \frac{1}{n^2}}\)

dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)

-- 25 kwi 2017, o 21:30 --


\(\displaystyle{ \ln n^ \frac{1}{n}= \frac{\ln n}{n} \le \frac{ \sqrt{n} }{n}= \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)

Podnosząc do \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ \left( \ln n^ \frac{1}{n}\right)^n \le \left( \frac{1}{ \sqrt{n} }\right)^n}\)

jednakże \(\displaystyle{ n^ \frac{n}{2} \ge n^2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n^ \frac{n}{2} } \le \frac{1}{n^2}}\)

itd

[Intech]

Z Cauchy'ego policzyłem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ln(n ^{ \frac{1}{n} } ))=lim_{n \to \infty } \frac{ln(n)}{n}}\) i to z De'Hospitala: \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{n} }{1}}\)
zatem an dąży do zera więc szereg jest zbieżny. Jest to poprawne?

[Janusz Tracz]

Tak i nie. Bo nie można różniczkować ciągu ale można powiedzieć że rozważyło się granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\ln x}{x}}\) i z DH wyszło \(\displaystyle{ 0}\) więc z definicji granicy i przyjęcia \(\displaystyle{ x_n=n}\) mamy że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n}=0}\) i ostatecznie potwierdza to zbieżność.

[Intech]

Rozumiem, dzięki za pomoc.

[Janusz Tracz]

Ale regułę DH można obejść, można oszacować i z 3 ciągów zrobić :

\(\displaystyle{ 0 \le \ln \sqrt[n]{n} \le \ln\left( 1+ \frac{2}{ \sqrt{n} }- \frac{2}{n}\right)}\)

przy czym prawa strona jest konsekwencją nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną.

[a4karo]

Czy już naprawdę nikt nie pamięta, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1}\) ?

[Premislav]

Myślę, że wiele osób pamięta, ponadto pawlo392 już sugerował użycie tej granicy, a ostatnia nierówność napisana przez usera Janusz Tracz to część jednej z metod wykazywania, że ta granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).