Zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Intech » 25 kwie 2017, o 20:21

Witam, mam kłopot ze zbadaniem następującego szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{2}^{ \infty } (ln \sqrt[n]{n})^n}\)
Nie wiem jak zacząć. Z jakiego kryterium powinienem skorzystać? Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14517
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4782 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 25 kwie 2017, o 20:24

Skorzystaj z kryterium Cauchy'ego.

Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Intech » 25 kwie 2017, o 20:54

Tak myślałem, ale wtedy mam problem z policzeniem granicy, jakieś wskazówki?

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1062
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 34 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: pawlo392 » 25 kwie 2017, o 20:58

Jak weźmiesz samo \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}}\) to co otrzymasz?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2542
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 785 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Janusz Tracz » 25 kwie 2017, o 21:22

Albo z porównawczego.

\(\displaystyle{ \left(\ln \sqrt[n]{n} \right)^{n} \le \left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \right)^n \le \frac{1}{n^2}}\)

dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)

-- 25 kwi 2017, o 21:30 --


\(\displaystyle{ \ln n^ \frac{1}{n}= \frac{\ln n}{n} \le \frac{ \sqrt{n} }{n}= \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)

Podnosząc do \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ \left( \ln n^ \frac{1}{n}\right)^n \le \left( \frac{1}{ \sqrt{n} }\right)^n}\)

jednakże \(\displaystyle{ n^ \frac{n}{2} \ge n^2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n^ \frac{n}{2} } \le \frac{1}{n^2}}\)

itd

Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Intech » 25 kwie 2017, o 21:37

Z Cauchy'ego policzyłem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ln(n ^{ \frac{1}{n} } ))=lim_{n \to \infty } \frac{ln(n)}{n}}\) i to z De'Hospitala: \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{n} }{1}}\)
zatem an dąży do zera więc szereg jest zbieżny. Jest to poprawne?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2542
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 785 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Janusz Tracz » 25 kwie 2017, o 21:41

Tak i nie. Bo nie można różniczkować ciągu ale można powiedzieć że rozważyło się granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\ln x}{x}}\) i z DH wyszło \(\displaystyle{ 0}\) więc z definicji granicy i przyjęcia \(\displaystyle{ x_n=n}\) mamy że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n}=0}\) i ostatecznie potwierdza to zbieżność.

Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Intech » 25 kwie 2017, o 21:42

Rozumiem, dzięki za pomoc.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2542
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 785 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Janusz Tracz » 25 kwie 2017, o 21:53

Ale regułę DH można obejść, można oszacować i z 3 ciągów zrobić :

\(\displaystyle{ 0 \le \ln \sqrt[n]{n} \le \ln\left( 1+ \frac{2}{ \sqrt{n} }- \frac{2}{n}\right)}\)

przy czym prawa strona jest konsekwencją nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17544
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: a4karo » 25 kwie 2017, o 23:17

Czy już naprawdę nikt nie pamięta, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1}\) ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14517
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4782 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 25 kwie 2017, o 23:36

Myślę, że wiele osób pamięta, ponadto pawlo392 już sugerował użycie tej granicy, a ostatnia nierówność napisana przez usera Janusz Tracz to część jednej z metod wykazywania, że ta granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

ODPOWIEDZ