suma czesciowa

[patrycjaaa]

Mając dana sumę czesciową szeregu Sn znaleźć ogolny wyraz szeregu oraz jego sume

1. \(\displaystyle{ Sn = \frac{-1+2^n}{2 ^{n} }}\)

2. \(\displaystyle{ Sn = \frac{(-1) ^{n} }{2 ^{n} }}\)

Prosze o pomoc

[pawlo392]

Suma szeregu to granica ciągu sum częściowych.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ S_n=a_1+a_2+...+a_n}\)

No bo to suma

\(\displaystyle{ a_n=S_{n-1}-S_n}\)

więc wystarczy podstawiać pod ten wzór.

Co do sumy szeregu jest to granica sumy częściowej więc w 1 przypadku do policzenia jest

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{-1+2^n}{2 ^{n} }=1}\)

a w kolejnym

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{(-1) ^{n} }{2 ^{n} }=0}\)

[patrycjaaa]

czyli
\(\displaystyle{ an= \frac{-1+2 ^{n-1} }{2 ^{n-1} }- \frac{-1+2 ^{n} }{2 ^{n} }=
\frac{(-1+2 ^{n-1})* 2^{n} - (-1+2 ^{n})*2^{n-1}}{2 ^{n}*2 ^{n-1} }}\)

Dalej wymnażając trudno dojsc do odpowiedzi podanej w zbiorze \(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n} }}\)
jak zrobic to szybciej?

[Premislav]

Co do wzorów wyrazów ogólnych:
1. Łatwo widać ze wzoru na różnicę n-tych potęg, iż
\(\displaystyle{ \frac{2^n-1}{2^n}=1-\left( \frac 1 2\right)^n=\left( 1-\frac 1 2\right) \sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac 1 2\right)^k= \sum_{k=1}^{n}\left(\frac 1 2\right)^k}\)
i sprawdzając k-ty wyraz w tej sumie, dochodzimy do wniosku, że
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2^n}}\)

2. Tutaj nie ma co kombinować, bo zastosowanie techniki z \(\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1}}\) jest bardzo proste.

[patrycjaaa]

\(\displaystyle{ an=\frac{(-1) ^{n-1} }{n-1}- \frac{(-1) ^{n} }{n} = \frac{(-1)^{n}*n+n-1}{(n-1)*n}=(-1)^n \frac{2n-1}{n(n-1)}}\)
Skad w odpowiedzi
\(\displaystyle{ -1+ \sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^{n} \frac{2n-1}{n(n-1)}}\)
na początku jest -1 ?

[Tomaszek1999]

Trochę już nieaktualne, ale może się komuś jeszcze przyda.

Jak się rozłoży tą sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^{n} \frac{2n-1}{n(n-1} [gdzie \frac{2n-1}{n(n-1} = (\frac{1}{n}+ \frac{1}{n-1})] = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + (-1) ^{n} ( \frac{1}{n}+ \frac{1}{n-1}) = 1 + \frac{(-1) ^{n} }{n}}\)

Czyli o 1 więcej niż to co dane w zadaniu, czyli trzeba jeszcze tą jedynkę odjąć.