Matematyka.pl

Rozwiń funkcję w szereg maclaurina \(\displaystyle{ f(x) = \ln(8+x^3)}\)

Mam problem ponieważ liczę pochodną funkcji \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{3x}{x^3+8}}\)
jest to szereg geometryczny więc rozwijam go do postaci: \(\displaystyle{ \sum_{0}^{ \infty } \frac{3x^2}{8} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{3n}}\)

I teraz trzeba policzyć całkę z tego szeregu: \(\displaystyle{ \int \sum_{0}^{ \infty } \frac{3x^2}{8} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{3n} = \sum_{0}^{ \infty } \int \frac{3x^2}{8} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{3n}= \sum_{0}^{ \infty } \int 3 \cdot \frac{x^{3n+2}}{2^{3n+3}}}\) i tutaj się zatrzymałem ponieważ kiedy scałkujemy te sumy to nie wiem jak policzyć stałą C. Każda całką ma własną stałą czyli tak jakby \(\displaystyle{ C_n}\) więc jak dokończyć to rozwijanie?

Trzeba zastąpić całkę nieoznaczoną całką oznaczoną (tutaj od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) będzie wygodna) i wtedy jest fajnie, nie musimy martwić się stałymi.
BTW podałaś złą postać \(\displaystyle{ f'(x),}\) powinno być \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x^2}{x^3+8}}\), ale dalej chyba nie powielasz tego błędu. Ale ogólnie trochę błędów jest, chyba rozwijasz ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t}= \sum_{n=0}^{+\infty} t^n}\), a on nie jest prawdziwy, tam powinno być
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t}}\), czyli np. \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\left( -\frac{x^3}{8} \right)^n }}\) ;myślę, że efektywniej będzie, jeśli zrobię to zadanie i napiszę objaśnienie (nie umiem pisać wskazówek).
\(\displaystyle{ f(x)=\ln(8+x^3)\\ f'(x)= \frac{3x^2}{x^3+8}\\ \text{ dla } |x|<2 \text{ mamy } f'(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3}{8}x^2 (-1)^n \left( \frac{x}{2} \right)^{3n} \\
\text{ całkujemy w granicach od } 0 \text{ do } x \text{ równość }
f'(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3}{8}t^2 (-1)^n \left( \frac{t}{2} \right)^{3n}\\
f(x)-f(0)= 3\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left( \frac 1 2\right)^{3n+3} \frac{x^{3n+3}}{3n+3}=\\= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{8(n+1)}\left( -\frac 1 8\right)^n x^{3n+3}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ f(0)=3\ln 2}\).-- 8 sie 2016, o 20:21 --Więc ostatecznie
\(\displaystyle{ f(x)=3\ln 2+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{8(n+1)}\left( -\frac 1 8\right)^n x^{3n+3}}\)
dla \(\displaystyle{ |x|<2}\) (bo korzystamy z tego, że wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować i całkować szereg potęgowy wyraz po wyrazie).

Ale jak calkujemy w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) tamto \(\displaystyle{ f ' (t)}\) to to powinno byc rowne naszemu \(\displaystyle{ f(x)}\) no nie? A potem sie podstawia wartosc tego szeregu. Tylko ze jak sobie wstawisz policzona ta calke jeszcze zanim wstawimy wzor na szereg to wychodzi \(\displaystyle{ \ln(8+x^3) - \ln(8)}\) i to nie jest nasz wzor \(\displaystyle{ f(x)}\), wiec nie trzeba tam do wyniku dodac \(\displaystyle{ \ln(8)}\) czy cos zeby to zadzialalo?

Przecież dodałem tę stałą do wyniku, mamy \(\displaystyle{ 3\ln 2=\ln 8}\).
A pierwszej części szczerze mówiąc nie rozumiem. Chodzi Ci o to, że przechodzę od
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n}a_{n}x^{n}}\) (wewnątrz przedziału zbieżności) do
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}f(t)\mbox{d}t=\int_{0}^{x}\sum_{n}a_{n}t^{n}}\)
To są tylko nazwy zmiennych, je sobie można pozamieniać, byle tylko nie popadać w konflikt oznaczeń. Ale jeśli tak bardzo Ci się to nie podoba, to możesz napisać zamiast tego \(\displaystyle{ \int_{0}^{t}f(x)\mbox{d}x=\int_{0}^{t}\sum_{n}a_{n}x^{n}}\)
Nie zmieni to ani wyniku, ani rozumowania.