Wyznacz te wartości x, dla których..

[damianb543]

Wyznacz te wartości x, dla których dany szereg jest zbieżny:
a) \(\displaystyle{ 1,\log x,\log ^{2}x,....}\)
b)\(\displaystyle{ \sin x+\sin ^{2}x+\sin ^{3}x,....}\)
c) \(\displaystyle{ 1+2\cos x+4\cos ^{2}x}\)
d)\(\displaystyle{ 2 ^{x}+4 ^{x}+8 ^{x}}\)

Szereg jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\)
Nie wiem jak rozwiązać te nierówności:

\(\displaystyle{ \left| \log x\right|<1}\)
\(\displaystyle{ |\sin x|<1}\)
\(\displaystyle{ |2\cos x|<1}\)
\(\displaystyle{ \left| 2 ^{x}\right| <1}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left| \log x\right| <1\\
-1< \log x <1\\
\log 10 ^{-1}< \log x<\log 10^1\\
\frac{1}{10}<x<10}\)

\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| <1\\
-1< \sin x <1\\
x \in \RR \setminus \left\{ \frac{ \pi }{2}+k \pi \right\}}\)

pozostałe spróbuj rozwiązać samodzielnie

[damianb543]

\(\displaystyle{ \left| \log x\right| <1\\
-1< \log x <1\\
\log 10 ^{-1}< \log x<\log 10^1\\
\frac{1}{10}<x<10}\)

\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| <1\\
-1< \sin x <1\\
x \in \RR \setminus \left\{ \frac{ \pi }{2}+k \pi \right\}}\)

pozostałe spróbuj rozwiązać samodzielnie

Jakbyś tylko mógł rozpisać to z potęgami byłbym wdzięczny.

[kerajs]

Ponieważ wyrażenie wykładnicze jest zawsze dodatnie wystarczy warunek
\(\displaystyle{ 2^x<1\\
2^x<2^0\\
x<0}\)

Podwójną nierówność np:
\(\displaystyle{ -1<2\cos x<1}\)
najwygodniej rozwiązywać jako układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\cos x<1 \\ 2\cos x>-1 \end{cases}}\)

[VanHezz]

A czy w przykładzie z sinusami szereg nie jest zbieżny też dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\)? Wówczas suma szeregu jest równa zero.

[Jan Kraszewski]

A czy w przykładzie z sinusami szereg nie jest zbieżny też dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\)? Wówczas suma szeregu jest równa zero.

Tak, ale to przecież mieści się w rozwiązaniu \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ \frac{ \pi }{2}+k \pi :k\in\ZZ \right\}}\).

JK