Szereg z sumą kwadratów
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11426
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Szereg z sumą kwadratów
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi}{2a} \cdot \frac{e^{a\pi } + e^{-a\pi } }{ e^{a\pi } - e^{-a\pi }} - \frac{1}{2a^2}}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10228
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Szereg z sumą kwadratów
Można to zrobić wykorzystując szeregi Fouriera.
Niech \(\displaystyle{ f : [-\pi, \pi] \to \RR}\): \(\displaystyle{ f(x) = e^{ax} + e^{-ax}.}\)
Obliczamy współczynniki szeregu Fouriera:
\(\displaystyle{ \begin{align*}
a^2 \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x & = \Big[ a e^{ax} \cos nx \Big]_{-\pi}^{\pi} + an \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \sin nx \, \dd x \\[1ex]
& = (-1)^n \cdot a \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) + \Big[ n e^{ax} \sin nx \Big]_{-\pi}^{\pi} - n^2 \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x \\[1ex]
& = (-1)^n \cdot a \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) - n^2 \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x
\end{align*} }\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x = (-1)^n \cdot \frac{a}{n^2 + a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{align*}
a_n & = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, \dd x = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left( e^{ax} + e^{-ax} \right) \cos nx \, \dd x \\[1ex]
& = \frac{1}{\pi} \left[ (-1)^n \cdot \frac{a}{n^2 + a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) + (-1)^n \cdot \frac{-a}{n^2 + a^2} \cdot \left( e^{-a \pi} - e^{a \pi} \right) \right] \\[1ex]
& = \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{2a}{n^2+a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right)
\end{align*}}\)
Z parzystości funkcji \(\displaystyle{ f}\) dostajemy \(\displaystyle{ b_n = 0.}\)
Nietrudno zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła (oraz \(\displaystyle{ f(-\pi) = f(\pi)}\)) a jej szereg Fouriera jest zbieżny jednostajnie, zatem jest zbieżny do funkcji \(\displaystyle{ f,}\) tj.
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-\pi, \pi].}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x = \pi,}\) dostajemy
\(\displaystyle{ e^{a \pi} + e^{-a \pi} = \frac{1}{a \pi} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{2a}{n^2+a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) \cdot \cos n \pi,}\)
co po przekształceniach daje
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = -\frac{1}{2a^2} + \frac{\pi}{2a} \cdot \frac{e^{a \pi} + e^{-a \pi}}{e^{a \pi} - e^{-a \pi}}.}\)
Niech \(\displaystyle{ f : [-\pi, \pi] \to \RR}\): \(\displaystyle{ f(x) = e^{ax} + e^{-ax}.}\)
Obliczamy współczynniki szeregu Fouriera:
\(\displaystyle{ \begin{align*}
a^2 \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x & = \Big[ a e^{ax} \cos nx \Big]_{-\pi}^{\pi} + an \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \sin nx \, \dd x \\[1ex]
& = (-1)^n \cdot a \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) + \Big[ n e^{ax} \sin nx \Big]_{-\pi}^{\pi} - n^2 \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x \\[1ex]
& = (-1)^n \cdot a \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) - n^2 \int \limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x
\end{align*} }\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx \, \dd x = (-1)^n \cdot \frac{a}{n^2 + a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{align*}
a_n & = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, \dd x = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left( e^{ax} + e^{-ax} \right) \cos nx \, \dd x \\[1ex]
& = \frac{1}{\pi} \left[ (-1)^n \cdot \frac{a}{n^2 + a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) + (-1)^n \cdot \frac{-a}{n^2 + a^2} \cdot \left( e^{-a \pi} - e^{a \pi} \right) \right] \\[1ex]
& = \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{2a}{n^2+a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right)
\end{align*}}\)
Z parzystości funkcji \(\displaystyle{ f}\) dostajemy \(\displaystyle{ b_n = 0.}\)
Nietrudno zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła (oraz \(\displaystyle{ f(-\pi) = f(\pi)}\)) a jej szereg Fouriera jest zbieżny jednostajnie, zatem jest zbieżny do funkcji \(\displaystyle{ f,}\) tj.
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-\pi, \pi].}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x = \pi,}\) dostajemy
\(\displaystyle{ e^{a \pi} + e^{-a \pi} = \frac{1}{a \pi} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{2a}{n^2+a^2} \cdot \left( e^{a \pi} - e^{-a \pi} \right) \cdot \cos n \pi,}\)
co po przekształceniach daje
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = -\frac{1}{2a^2} + \frac{\pi}{2a} \cdot \frac{e^{a \pi} + e^{-a \pi}}{e^{a \pi} - e^{-a \pi}}.}\)