Inna postać funkcji dzeta riemanna dla alfa = 1

[pi0tras]

Cześć ! istnieje może wzór na sumę takiego szeregu ? : \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\) ? pamiętam, że na analizie Pani mówiła cos w stylu, że wzór na sumę takiego szeregu nie istnieje ale nie pamiętam dobrze i hm .. chyba ciężko wykazać, że wzór nie istnieje ? to chyba zbyt mocne słowa, co Wy na to ?

[mortan517]

Pani najprawdopodobniej mówiła o rozbieżności takiego szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{n}}\)

[pi0tras]

Tak, milion razy mówiła o tym, że szereg ten jest rozbieżny jak każdy szereg otrzymany przez podstawienie do funkcji dzeta riemanna \(\displaystyle{ \alpha \le 1 , \alpha \in \mathbb{R}}\), ale pamiętam chwilę gdy mówiła, że wzór na sumę tego szeregu nie istnieje, to trochę mocne słowa, tzn. istnieje bo to co podałem jest wzorem, ale chodzi o coś bardziej zwięzłego (tak wiem, że to bardzo ogólne pojęcie). Nie chodzi nawet o to czy ktoś udowodnił czy nie istnieje ale czy coś takiego jest znane ? tzn. taki wzór ?

[mortan517]

Nie jestem pewien czy do końca cię rozumiem, ale wpisz w wyszukiwarkę: Szereg harmoniczny.

[a4karo]

A jak sie tak upierasz przy tym, co napisałeś, to przyjmij do wiadomości, że napisałeś w dość skomplikowany sposób JEDYNKĘ

[pi0tras]

no nie wiem, liczby rzeczywiste mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) to nie tylko \(\displaystyle{ 1}\), funkcja dzeta riemanna jest dla wszystkich rzeczywistych (zespolonych nawet : P )-- 7 kwi 2016, o 00:08 --No wpisywałem "szereg harmoniczny", ale to nic nie daje, nie ma wzoru nigdzie na sumę (w lepszej formie).

[Dasio11]

Tutaj pada stwierdzenie, że nie ma wzoru jawnego na twoją sumę.

[a4karo]

Tutaj pada stwierdzenie, że nie ma wzoru jawnego na twoją sumę.

Cześć ! istnieje może wzór na sumę takiego szeregu ? : \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}}\)?

Na pewno?
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}=n\cdot\frac{1}{n}=1}\)
Może być bardziej "zwarty"?

[Dasio11]

Rany, chyba wolno mi zrozumieć intencję pytającego pomimo niepoprawnego zapisu?

Jeśli już chciałbym się odnieść do tej pomyłki, to poświęciłbym jej pierwszą linijkę posta, w którym cała reszta dotyczyłaby sedna sprawy, a na pewno nie napisałbym całych dwóch postów wyłącznie w tym celu.

[a4karo]

Oto dwa zwarte wzory na \(\displaystyle{ H_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}\)

\(\displaystyle{ H_n=\frac{1}{n!}\left.\frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{1}{1-x}\ln \frac{1}{1-x}\right)\right|_{x=0}}\)

\(\displaystyle{ H_n=\frac{1}{n!}\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n+1}{2}}\)

Źródło: Graham, Knuth, Patashnik, Matematyka konkretna, str 391 i 308

[Qń]

Wszystko zależy od tego co rozumiemy przez wzór zwarty. Cytowana tu Matematyka konkretna podaje, że wyrażenie jest w postaci zwartej jeśli możemy je wyliczyć stosując skończoną, niezależną od n, liczbę "dobrze znanych" działań standardowych.

W tym sensie wzory podane przez a4karo nie są zwarte. A z drugiej strony Graham, Knuth, Patashnik piszą, że omawianą sumę można oznaczyć przez \(\displaystyle{ H_n}\) i umówić się, że \(\displaystyle{ H_n}\) dorzucamy do zbioru "dobrze znanych" działań standardowych.

Q.

[a4karo]

Wszystko zależy od tego co rozumiemy przez wzór zwarty. Cytowana tu Matematyka konkretna podaje, że wyrażenie jest w postaci zwartej jeśli możemy je wyliczyć stosując skończoną, niezależną od n, liczbę "dobrze znanych" działań standardowych.

W tym sensie wzory podane przez a4karo nie są zwarte.

Nie byłbym sobą, gdybym nie poprosił o dowód

[Qń]

No pierwszy wzór nie jest zwarty z definicji, ponieważ liczba operacji zależy od \(\displaystyle{ n}\).

Natomiast w przypadku drugiego wzoru poprawię swoją tezę: ludzkości nic nie wiadomo o tym, że ten wzór jest zwarty, ponieważ nie jest znany wzór zwarty na \(\displaystyle{ \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{2}]}\) (niewykorzystujący wyrażenia \(\displaystyle{ H_n}\)).

Q.

[a4karo]

No pierwszy wzór nie jest zwarty z definicji, ponieważ liczba operacji zależy od \(\displaystyle{ n}\).

Natomiast w przypadku drugiego wzoru poprawię swoją tezę: ludzkości nic nie wiadomo o tym, że ten wzór jest zwarty, ponieważ nie jest znany wzór zwarty na \(\displaystyle{ \genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{2}]}\) (niewykorzystujący wyrażenia \(\displaystyle{ H_n}\)).

Q.

Ja bym się nie odważył...