Suma szeregu, wielomian

[Milczek]

Prosiłbym o wskazówkę jak się za to zabrać.

Znajdź wzór na sumę :
\(\displaystyle{ S_{n}=1+2x+3x^2+....+nx^{n-1}}\).

[dec1]

Możesz pomnożyć dwustronnie przez \(\displaystyle{ x}\).

[a4karo]

Scałkuj to

[Milczek]

a4karo, Scałkowanie by załatwiło sprawę. Ale... wolę elementarne rozwiązania. Nie umiem całek

dec1, Mnożyłem, ale mając wyrażenie \(\displaystyle{ x\cdot S_{n}=...}\) nie wiele więcej wyciągnąłem z tego.

Próbowałem też jakoś to przeindeksować ale też zbytnio nie umiem ułożyć dwóch sensownych różnych równań aby coś uzyskać.

[a4karo]

\(\displaystyle{ S_n=\\
1+x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}\\
\phantom{1}+x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}\\
\phantom{1+x}+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}\\
\vdots}\)

[Qń]

Można też zaburzyć lub zsumować przez części.

Q.

[Milczek]

a4karo, rozumiem już. Szukałem podobnego sposobu ale nie pomyślałem o współczynnikach.

Możemy to potraktować jako trójkąt którego wysokość to \(\displaystyle{ nx^{n-1}}\) a podstawa ma długość \(\displaystyle{ \frac{1-x^n}{1-x}}\).
Otrzymujemy że \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{nx^n(1-x^{n})}{2(1-x)}}\)

Chociaż nie jestem pewien czy mogę to tak obliczyć...

[dec1]

Miałem na myśli takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ xS_n=x+2x^2+3x^3+...+nx^n\\
S_n-xS_n=S_n(1-x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}-nx^n}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}}\):
\(\displaystyle{ S_n(1-x)=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S_n=\frac{1-x^n}{(1-x)^2}-\frac{nx^n}{1-x}}\)

[a4karo]

a4karo, rozumiem już. Szukałem podobnego sposobu ale nie pomyślałem o współczynnikach.

Możemy to potraktować jako trójkąt którego wysokość to \(\displaystyle{ nx^{n-1}}\) a podstawa ma długość \(\displaystyle{ \frac{1-x^n}{1-x}}\).
Otrzymujemy że \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{nx^n(1-x^{n})}{2(1-x)}}\)

Chociaż nie jestem pewien czy mogę to tak obliczyć...

Nie ma żadnego uzasadnienia dla Twojego postępowania..