Mam taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{2}\right)^{n}n^{- \frac{2}{p}}}\) dla \(\displaystyle{ p \ge 1}\).
Udało mi się ustalić, że dąży przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\). Tylko jak to udowodnić? Z czego korzystać?
Zbieżność szeregu.
-
miodzio1988
Zbieżność szeregu.
Chodzi Ci o warunek konieczny zbieżności szeregu?
No wyraz ogólny nie zbiega do jedynki np dla \(\displaystyle{ p=1}\)
No wyraz ogólny nie zbiega do jedynki np dla \(\displaystyle{ p=1}\)
Zbieżność szeregu.
Moje pytanie: Dla jakich parametrów \(\displaystyle{ p}\) powyższy szereg zbiega do liczby większej równej \(\displaystyle{ 1}\), ale skończonej?
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Zbieżność szeregu.
Funkcja \(\displaystyle{ f : [0, \infty)}\) dana wzorem
\(\displaystyle{ f( \alpha ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}}\)
jest malejąca i \(\displaystyle{ f(0) = 1,}\) więc \(\displaystyle{ f( \alpha ) < 1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \alpha > 0.}\)
Ale jeśli \(\displaystyle{ p \ge 1,}\) to \(\displaystyle{ \frac{2}{p} > 0,}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot n^{-\frac{2}{p}} = f \left( \frac{2}{p} \right) < 1.}\)
\(\displaystyle{ f( \alpha ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}}\)
jest malejąca i \(\displaystyle{ f(0) = 1,}\) więc \(\displaystyle{ f( \alpha ) < 1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \alpha > 0.}\)
Ale jeśli \(\displaystyle{ p \ge 1,}\) to \(\displaystyle{ \frac{2}{p} > 0,}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot n^{-\frac{2}{p}} = f \left( \frac{2}{p} \right) < 1.}\)