Mam obliczyć taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(r+k-1)!}{(k-m)!} \cdot p^k,}\)
Na wolframie sprawdzilem, ze wynik to:
\(\displaystyle{ p^m (m+r-1)!(1-p)^{-m-r}}\)
Ktos pomoze to pokazac?
Policzyć szereg
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Policzyć szereg
Najpierw zamieniamy granice sumowania:
\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(r+k-1)!}{(k-m)!} \cdot p^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(m+r-1+k)!}{k!} \cdot p^{k+m},}\)
potem dopełniamy do wzoru na symbol Newtona i wyciągamy ile się da przed sumę:
\(\displaystyle{ = \sum_{k=0}^{\infty} (m+r-1)! \cdot \frac{(m+r-1+k)!}{k! \cdot (m+r-1)!} \cdot p^k \cdot p^m = p^m \cdot (m+r-1)! \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{m+r-1+k}{k} \cdot p^k.}\)
Zostaje do pokazania, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}},}\)
gdzie \(\displaystyle{ n = m+r-1.}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(r+k-1)!}{(k-m)!} \cdot p^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(m+r-1+k)!}{k!} \cdot p^{k+m},}\)
potem dopełniamy do wzoru na symbol Newtona i wyciągamy ile się da przed sumę:
\(\displaystyle{ = \sum_{k=0}^{\infty} (m+r-1)! \cdot \frac{(m+r-1+k)!}{k! \cdot (m+r-1)!} \cdot p^k \cdot p^m = p^m \cdot (m+r-1)! \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{m+r-1+k}{k} \cdot p^k.}\)
Zostaje do pokazania, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}},}\)
gdzie \(\displaystyle{ n = m+r-1.}\)
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Policzyć szereg
Indukcja po \(\displaystyle{ n,}\) gdzie krok
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}, \implies \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+2}}}\)
można wykonać:
\(\displaystyle{ \bullet}\) różniczkując obustronnie, lub
\(\displaystyle{ \bullet}\) wyliczając iloczyn Cauchy'ego szeregów
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} p^k \right).}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}, \implies \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+2}}}\)
można wykonać:
\(\displaystyle{ \bullet}\) różniczkując obustronnie, lub
\(\displaystyle{ \bullet}\) wyliczając iloczyn Cauchy'ego szeregów
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} p^k \right).}\)
- Tupensep
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 10 lis 2018, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
- Podziękował: 8 razy
Re: Policzyć szereg
Mógłbyś bardziej rozwinąć to różniczkowanie? Nie miałam z tym wcześniej do czynienia niestetyDasio11 pisze: ↑9 sty 2016, o 14:40 Indukcja po \(\displaystyle{ n,}\) gdzie krok
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}, \implies \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+2}}}\)
można wykonać:
\(\displaystyle{ \bullet}\) różniczkując obustronnie
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Policzyć szereg
Zakładamy indukcyjnie, że dla \(\displaystyle{ p \in (-1, 1)}\) równość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}}\)
jest prawdziwa. Obustronnie zróżniczkowanie względem \(\displaystyle{ p}\) daje:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k+1}{k+1} \cdot (k+1) \cdot p^k = \frac{n+1}{(1-p)^{n+2}}}\),
więc aby otrzymać tezę indukcyjną, wystarczy przeliczyć że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k+1}{k+1} \cdot (k+1) \cdot p^k = (n+1) \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k}\)
dla \(\displaystyle{ p \in (-1, 1)}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}}\)
jest prawdziwa. Obustronnie zróżniczkowanie względem \(\displaystyle{ p}\) daje:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k+1}{k+1} \cdot (k+1) \cdot p^k = \frac{n+1}{(1-p)^{n+2}}}\),
więc aby otrzymać tezę indukcyjną, wystarczy przeliczyć że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k+1}{k+1} \cdot (k+1) \cdot p^k = (n+1) \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k}\)
dla \(\displaystyle{ p \in (-1, 1)}\).