Policzyć szereg

[elbargetni]

Mam obliczyć taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(r+k-1)!}{(k-m)!} \cdot p^k,}\)

Na wolframie sprawdzilem, ze wynik to:
\(\displaystyle{ p^m (m+r-1)!(1-p)^{-m-r}}\)
Ktos pomoze to pokazac?

[Dasio11]

Najpierw zamieniamy granice sumowania:

\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(r+k-1)!}{(k-m)!} \cdot p^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(m+r-1+k)!}{k!} \cdot p^{k+m},}\)

potem dopełniamy do wzoru na symbol Newtona i wyciągamy ile się da przed sumę:

\(\displaystyle{ = \sum_{k=0}^{\infty} (m+r-1)! \cdot \frac{(m+r-1+k)!}{k! \cdot (m+r-1)!} \cdot p^k \cdot p^m = p^m \cdot (m+r-1)! \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{m+r-1+k}{k} \cdot p^k.}\)

Zostaje do pokazania, że

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}},}\)

gdzie \(\displaystyle{ n = m+r-1.}\)

[elbargetni]

Mógłbym jakąś podpowiedź?

[Dasio11]

Indukcja po \(\displaystyle{ n,}\) gdzie krok

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}, \implies \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+2}}}\)

można wykonać:

\(\displaystyle{ \bullet}\) różniczkując obustronnie, lub
\(\displaystyle{ \bullet}\) wyliczając iloczyn Cauchy'ego szeregów

\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} p^k \right).}\)

[Tupensep]

Indukcja po \(\displaystyle{ n,}\) gdzie krok

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}, \implies \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+2}}}\)

można wykonać:

\(\displaystyle{ \bullet}\) różniczkując obustronnie

Mógłbyś bardziej rozwinąć to różniczkowanie? Nie miałam z tym wcześniej do czynienia niestety

[Dasio11]

Zakładamy indukcyjnie, że dla \(\displaystyle{ p \in (-1, 1)}\) równość

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} \cdot p^k = \frac{1}{(1-p)^{n+1}}}\)

jest prawdziwa. Obustronnie zróżniczkowanie względem \(\displaystyle{ p}\) daje:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k+1}{k+1} \cdot (k+1) \cdot p^k = \frac{n+1}{(1-p)^{n+2}}}\),

więc aby otrzymać tezę indukcyjną, wystarczy przeliczyć że

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k+1}{k+1} \cdot (k+1) \cdot p^k = (n+1) \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1+k}{k} \cdot p^k}\)

dla \(\displaystyle{ p \in (-1, 1)}\).