Proszę o informację, skąd wynika poniższa równość:
\(\displaystyle{ \sum_{A:i\in A}\frac{(N-\#A)!(\#A-1)!}{N!}f(\{i\})=f(\{i\})}\)
Zatem skąd wiadomo, że powyższy suma jest równa 1?
Znalazłem informację, która do mnie nie przemawia:
"Licznik jest równy liczbie permutacji zbioru \(\displaystyle{ N}\), w których i jest poprzedzon\e tylko i wyłącznie elementami zbioru \(\displaystyle{ A}\), a mianownik wyraża liczbę wszystkich permutacji."
Szereg =1 - sumowanie po zborze
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Szereg =1 - sumowanie po zborze
Po lewej stronie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem. Co to znaczy \(\displaystyle{ (A-1)!}\) I co to \(\displaystyle{ N}\) A czym jest \(\displaystyle{ i}\) po prawej stronie równości?
Ostatnio zmieniony 4 gru 2015, o 15:00 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Tomas_91
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 15 lut 2010, o 13:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 4 razy
Szereg =1 - sumowanie po zborze
Chodzi o moc zbioru - tam maił być "#", ale nie skompilowało mi tego.
\(\displaystyle{ \sum_{A:i\in A}\frac{(n-a)!(a-1)!}{n!}f(\left\{ i\right\} )=f(\left\{ i\right\} )}\)
gdzie
a - moc zbioru A
n - moc zbioru N
\(\displaystyle{ A \subseteq N}\)
\(\displaystyle{ N=\left\{ 0,...,n\right\}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{A:i\in A}\frac{(n-a)!(a-1)!}{n!}f(\left\{ i\right\} )=f(\left\{ i\right\} )}\)
gdzie
a - moc zbioru A
n - moc zbioru N
\(\displaystyle{ A \subseteq N}\)
\(\displaystyle{ N=\left\{ 0,...,n\right\}}\)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Szereg =1 - sumowanie po zborze
Zapis jest niefortunny, bo sugeruje, że jest jedno ustalone \(\displaystyle{ a}\). Proponowałbym moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) oznaczać tradycyjnie: \(\displaystyle{ |A|}\). Ponadto oznaczenie \(\displaystyle{ N}\) jest zarezerwowane na zbiór liczb naturalnych, więc i tu przydałoby się inne. A dodatkowo myślę, że rozpatrujemy raczej zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,2, \ldots , n\}}\), bo inaczej moc tego zbioru będzie równa \(\displaystyle{ n+1}\), a nie \(\displaystyle{ n}\) tak jak chcemy.
Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{A:i\in A}\frac{(n-|A|)!(|A|-1)!}{n!} = \sum_{A:i\in A}\frac{1}{n \cdot \binom{n-1}{|A|-1}}= \sum_{k=1}^n\sum_{A: |A|=k, i\in A}\frac{1}{n \cdot \binom{n-1}{k-1}}=\ldots}\)
Teraz wystarczy sobie zadać pytanie: ile jest takich \(\displaystyle{ A}\) po jakich sumujemy w wewnętrznej sumie. A jest ich oczywiście \(\displaystyle{ \binom{n-1}{k-1}}\), bo do \(\displaystyle{ i}\) dobieramy \(\displaystyle{ k-1}\) elementów z pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\). Mamy więc dalej:
\(\displaystyle{ \ldots = \sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{1}{n \cdot \binom{n-1}{k-1}}= \sum_{k=1}^n \frac 1n = n\cdot \frac 1n = 1}\)
a to dokładnie to o co nam chodzi.
Q.
Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{A:i\in A}\frac{(n-|A|)!(|A|-1)!}{n!} = \sum_{A:i\in A}\frac{1}{n \cdot \binom{n-1}{|A|-1}}= \sum_{k=1}^n\sum_{A: |A|=k, i\in A}\frac{1}{n \cdot \binom{n-1}{k-1}}=\ldots}\)
Teraz wystarczy sobie zadać pytanie: ile jest takich \(\displaystyle{ A}\) po jakich sumujemy w wewnętrznej sumie. A jest ich oczywiście \(\displaystyle{ \binom{n-1}{k-1}}\), bo do \(\displaystyle{ i}\) dobieramy \(\displaystyle{ k-1}\) elementów z pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\). Mamy więc dalej:
\(\displaystyle{ \ldots = \sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{1}{n \cdot \binom{n-1}{k-1}}= \sum_{k=1}^n \frac 1n = n\cdot \frac 1n = 1}\)
a to dokładnie to o co nam chodzi.
Q.