dowody indukcyjne dla liczb naturalnych

[bukamccartney]

1)\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} x^{2}_k}\) *\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} y^{2}_j\ge (\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^{2}}\) dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \ x_iy_i\in R}\)

2)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = 2^{n}}\)

3)\(\displaystyle{ \sum^{n}_{k=0_{k parzyste}} {n\choose k} = 2^{n-1}}\)

4)Załóżmy, że liczba n ma taką własność,że\(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) jest wymierny.Udowodnij, ze wówczas \(\displaystyle{ \sqrt{n}\in N}\)

[pyzol]

1.
Rozpisz:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} x^{2}_k =\sum_{k=1}^{n} x^{2}_k +x_{n+1}^2}\)
podobnie sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} y^{2}_k}\) i powinno pójść od ręki.

[bukamccartney]

Dzięki za podpowiedź, ale sie zawiesiłam:

\(\displaystyle{ ... = (\sum_{k=1}^{n} x_{n+1}^{2} + x_{n+1}^{2}) (\sum_{j=1}^{n} y_j^2 + y_{n+1}^{2}) =\tex

= \sum_{k=1}^{n} x_k * \sum_{j=1}^{n} y_j + (\sum_{k=1}^n x_{k}^{2})* y_{n+1}^{2} + (\sum_{j=1}^n y_j^2)*x_{n+1}^2 + x_{n+1}^{2}y_{n+1}^2 =_{zalozenie}\tex

= (\sum_{i=1}^n x_i y_i)^2 + (\sum_{k=1}^n x_k^2) * y_{n+1}^2 + (\sum_{j=1}^n y_j^2)*x_{n+1}^2 + x_{n+1}^2 y_{n+1}^2}\)
no i teraz nie wiem czy dodac 0 czy jakis wzór skróconego mnożenia, nie mam pomysłu

-- 17 lis 2015, o 21:47 --

\(\displaystyle{ ( sum_i=1^(n+1) x_(i)y_i) = [ ex]-- 17 lis 2015, o 22:03 --\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n+1} x_i y_i )^2 = ( \sum_{i=1}^n x_i y_i + x_{n+1} y_{n+1} )^2 = (\sum_{i=1}^n x_i y_i)^2 + 2*\sum_{i=1}^n x_i y_i * x_{n+1} y_{n+1} + x_{n+1}^2 y_{n+1}^2}\)

z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k^2 + \sum_{j=1}^n y_j^2 \ge ( \sum_{i=1}^n x_i y_i)^2}\)

porównując L i P, wychodzi na to,że wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k^2 * y_{n+1}^2 + \sum_{j=1}^n x_j^2 x_{n+1}^2 \ge 2*\sum_{i=1}^n x_i y_i *x_{n+1}y_{n+1}}\)

pomoże ktoś z tym dowodem ?}\)