Przykłady badania zbieżności szeregów

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Przykłady badania zbieżności szeregów

Post autor: Zordon »

W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy badać zbieżność szeregu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów szeregów. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące szeregów. Dowody części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.


\(\displaystyle{ \mbox{TW. 1 (arytmetyka szeregów)}}\)
Załóżmy że szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\) są zbieżne, a ich sumy to odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Wtedy:
(1): Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }ca_n}\) jest zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }ca_n=ac}\). Dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ c}\).
(2): \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(a_n+b_n)}\) jest zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(a_n+b_n)=a+b}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 1* (iloczyn Cauchy'go szeregów)}}\)
Załóżmy że szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }b_n}\) sa zbieżne, przy czym szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny bezwzględnie, wtedy następujący szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }c_n}\) (gdzie \(\displaystyle{ c_n= \sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}}\))
jest zbieżny oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }c_n=ab}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 2 (warunek konieczny zbieżności)}}\)
Jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny, to jego wyraz ogólny zbiega do zera (tzn. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_n=0}\)). Najczęściej stosujemy to TW. w nieco innej wersji, mianowicie: jeśli granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n}\) nie istnieje, bądź nie jest równa zeru, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest rozbieżny.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 3 (o szeregu zbieżnym bezwględnie)}}\)
Jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }|a_n|}\) jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\)

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 4 (kryterium porównawcze)}}\)
Dane są szeregi o wyrazach nieujemnych: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\), \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\).
(1): jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\) jest zbieżny i dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ a_n \le b_n}\). Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny.
(2): jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\) jest rozbieżny i dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ a_n \ge b_n}\). Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest rozbieżny.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 5 (kryterium ilorazowe)}}\)
Dane są szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\) o wyrazach dodatnich. Rozważamy granicę: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}=A}\)
(1): Jeśli \(\displaystyle{ 0<A< \infty}\) to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny dokładnie wtedy gdy zbieżny jest \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\). Tzn. są one albo oba zbieżne, albo oba rozbieżne.
(2): Jeśli \(\displaystyle{ A=0}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\) jest zbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny.
(3): Jeśli \(\displaystyle{ A=\infty}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }b_n}\) jest zbieżny.

Uwaga, to twierdzenie możemy też stosować dla szeregów o wyrazach ujemnych, lub nawet gdy od pewnego miejsca wyrazy ciągów \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) są stale tego samego znaku.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 6 (kryterium Cauchy'ego)}}\)
Niech dany będzie szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\). Załóżmy, że istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|} =A}\). Wtedy:
(1): Jeśli \(\displaystyle{ 0 \le A<1}\) to szereg ten jest zbieżny,
(2): Jeśli \(\displaystyle{ A>1}\) to szereg ten jest rozbieżny,
(3): Jeśli \(\displaystyle{ A=1}\) to przypadek jest wątpliwy.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 7 (kryterium d'Alemberta)}}\)
Niech dany będzie szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\). Załóżmy, że istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =A}\). Wtedy:
(1): Jeśli \(\displaystyle{ 0 \le A<1}\) to szereg ten jest zbieżny,
(2): Jeśli \(\displaystyle{ A>1}\) to szereg ten jest rozbieżny,
(3): Jeśli \(\displaystyle{ A=1}\) to przypadek jest wątpliwy.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 8 (kryterium kondensacyjne)}}\)
Dany jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\), taki że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest od pewnego miejsca malejący i zbiega do zera. Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }2^na_{2^n}}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 9 (kryterium Dirichleta)}}\)
Niech dane będą ciągi \(\displaystyle{ a_n}\), \(\displaystyle{ b_n}\), takie że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest od pewnego miejsca malejący i zbiega do zera, a ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ b_n}\) jest ograniczony. Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_nb_n}\) jest zbieżny.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 10 (kryterium Leibniza)}}\)
Niech dany będą ciągi \(\displaystyle{ a_n}\), taki że wyrazy \(\displaystyle{ a_n}\) od pewnego miejsca maleją i ciąg ten zbiega do zera. Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^na_n}\) jest zbieżny.
Uwaga: to kryterium jest specjalnym przypadkiem kryterium Dirichleta.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 11 (kryterium Abela)}}\)
Załóżmy, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny, a ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) monotoniczny i ograniczony. Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_nb_n}\) jest zbieżny.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 12 (podstawowe szeregi)}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(1) } \sum_{n=1}^{ \infty } q^n}\) jest zbieżny dla \(\displaystyle{ |q|<1}\) i rozbieżny w przeciwnym przypadku.
\(\displaystyle{ \mbox{(2) } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny
\(\displaystyle{ \mbox{(3) } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}}\) jest zbieżny
\(\displaystyle{ \mbox{(4) } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^s}}\) jest zbieżny dla \(\displaystyle{ s>1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ s \le 1}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 13 (kryterium całkowe)}}\)
Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie określona w pewnym przedziale \(\displaystyle{ (K, \infty )}\) (gdzie \(\displaystyle{ K\in \mathbb{N}}\)) oraz niech f jest od pewnego miejsca malejąca i przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Wtedy całka \(\displaystyle{ \int_{K}^{ \infty }f(x)dx}\) jest zbieżna wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=K}^{ \infty } f(n)}\)





Przykłady badania zbieżności: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\(\displaystyle{ \mbox{1. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n\left(n+1\right)}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{2. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\cos n}{2^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{3. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3n+2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{4. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2 \sqrt{n}-3n+4 }{2n^4-1}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{5. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln \left(n^5\right)}{n^2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{6. } \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n} }}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{7. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \ln n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{8. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \ln^2 n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{9. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n+3^n}{4^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{10. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{11. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{1000}}{\left(1.01\right)^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{12. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{n^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{13. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^nn!}{n^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{14. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt[n]{n}+\left(-1\right)^n }{n^2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{15. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{16. } \sum_{n=1}^{ \infty } \left(-1\right)^n\frac{ \sqrt{n} }{2n-1}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{17. } \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{\ln n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{18. } \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \sqrt{n+1}- \sqrt{n}\right)}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{19. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{n} } \cdot \cos \frac{1}{n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{20. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin n}{n^2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{21. } \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{n}\right)}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{22. } \sum_{n=1}^{ \infty }\ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{23. } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin n}{n}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{24. } \sum_{n=1}^{ \infty }ne^{-n^2}}\)
Ukryta treść:    
-- 14 listopada 2009, 00:31 --

abc667 - dodanie kotwic 14 sierpnia 2011
Zablokowany