Zbadaj zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: max123321 »

Zbadaj zbieżność szeregu z kryterium porównawczego granicznego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3-2\cos (n^5)}{\sqrt{n}} }\)

Otóż to zadanie mam zrobić z kryterium porównawczego granicznego. Gdyby robić je ze zwykłego kryterium porównawczego to jest ono trywialne wystarczy porównać z szeregiem \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}} }\), aby wykazać, że ten szereg jest rozbieżny. Ale ma być kryterium graniczne i nie wiem z jakim drugim szeregiem liczyć tą granicę, bo jeśli się weźmie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }\) to dostaje się, że ta granica nie istnieje. Jak zatem rozwiązać ten problem?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: janusz47 »

Proponuję badany szereg przedstawić w postaci różnicy szeregów. Do każdego z tych szeregów zastosować graniczne kryterium porównawcze
(kryterium ilorazowe).

Dla pierwszego badanego szeregu granica ilorazu ciągów wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}, }\) dla drugiego np. \(\displaystyle{ \frac{2}{3}. }\)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: max123321 »

No dobra, ale kryterium porównawcze ilorazowe się stosuje do szeregów o wyrazach nieujemnych, a ten drugi szereg taki nie jest. Po drugie jeśli ten drugi szereg jest rozbieżny i pierwszy też to chyba nic nie mogę wywnioskować o zbieżności ich różnicy.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: matmatmm »

max123321 pisze: 23 paź 2021, o 19:28 Gdyby robić je ze zwykłego kryterium porównawczego to jest ono trywialne wystarczy porównać z szeregiem \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}} }\), aby wykazać, że ten szereg jest rozbieżny.
Dlaczego nie zadowala Cię takie rozwiązanie?
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: max123321 »

Ponieważ dostałem polecenie odgórne od wykładowcy, aby zadanie to zrobić z kryterium porównawczego granicznego. W tym zadaniu było 6 podpunktów tego typu co ten przykład o którym mówimy i początkowe pięć szło gładko z kryterium granicznego, więc mam taką rozkminę czy wykładowca się pomylił i nie wziął pod uwagę, że ten ostatni podpunkt nie da się zrobić z ilorazowego, albo jest jakiś sposób, którego nie widzę. Dlatego proszę o jakiś komentarz co do tego.

Dodano po 23 minutach 14 sekundach:
Tak, to prawda, ale z tego co wiem z kryterium granicznego możemy wnioskować jedynie gdy granica ilorazu jest liczbą dodatnią, skończoną. Czy nie? Bo tak to moglibyśmy wziąć jakiś grubo rozbieżny szereg typu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n^{10000} }\) i ta granica, którą napisałeś też by była równa zero nawet gdyby ten górny szereg był zbieżny. Czy źle mówię?

Dodano po 1 godzinie 47 minutach 31 sekundach:
Janusz Tracz usunąłeś post niepotrzebnie, ale ok.

No dobra to jak, może mi ktoś powiedzieć czy to zadanie da się zrobić z granicznego, czy nie jest to możliwe? Bo może się nie da, ale dlatego proszę, aby ktoś z was napisał czy się nie da (najlepiej z jakimś uzasadnieniem, ale nawet i bez), bo tak to nie wiem na czym stoję.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

Kryterium porównawcze w wersji granicznej kompletnie tutaj nie pasuje, ale z ciekawości podejrzałbym, o jakie rozwiązanie chodziło prowadzącemu. Możesz go o to chyba spytać?

Każde zadanie polegające na zbadaniu zbieżności szeregu o ustalonym znaku wyrazów da się zrobić z kryterium porównawczego w wersji granicznej, na przykład biorąc do porównania wyrazy tegoż samego szeregu albo przemnożone o jakąś tam stałą dodatnią, jednak nie o to w tym chodzi (przecież kryteria zbieżności mają nam pomagać badać zbieżność). Narzuca tu się zwykłe rozwiązanie z kryterium porównawczego, jakie zaproponowałeś. Moim zdaniem nie przeoczyłeś niczego oczywistego, a jestem nie najgorszy w tępym nawalaniu schematów z analizy.
ODPOWIEDZ