granica z sumą
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: granica z sumą
Udowodnię, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1+(n-1)^k}{1+n^k}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)^k}{n^k}\right)=0}\)
a reszta jest już turbo banalna (ciąg geometryczny) i z braku czasu zostawiam ją jako ćwiczenie.
Odnotujmy, że
\(\displaystyle{ 0<\frac{1+(n-1)^k}{1+n^k}-\frac{(n-1)^k}{n^k}=\frac{n^k-(n-1)^k}{n^k(n-1)^k}\\=\frac{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^k}{(n-1)^k}<\frac{1}{(n-1)^k}\le\frac{1}{n-1}}\)
i dodając takie nierówności stronami (dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\)), po czym dzieląc przez \(\displaystyle{ n}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1+(n-1)^k}{1+n^k}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)^k}{n^k}<\frac{1}{n-1}}\). Wniosek jest jasny.
a reszta jest już turbo banalna (ciąg geometryczny) i z braku czasu zostawiam ją jako ćwiczenie.
Odnotujmy, że
\(\displaystyle{ 0<\frac{1+(n-1)^k}{1+n^k}-\frac{(n-1)^k}{n^k}=\frac{n^k-(n-1)^k}{n^k(n-1)^k}\\=\frac{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^k}{(n-1)^k}<\frac{1}{(n-1)^k}\le\frac{1}{n-1}}\)
i dodając takie nierówności stronami (dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\)), po czym dzieląc przez \(\displaystyle{ n}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1+(n-1)^k}{1+n^k}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)^k}{n^k}<\frac{1}{n-1}}\). Wniosek jest jasny.