Wahadło - czas powrotu

[jolasw]

Na stalowej nici o długości 4 m przypiętej do sufitu sali umocowano kulę o masie 5kg.
Wahadło odchylono o 60 stopni od pionu i puszczono swobodnie.
Po jakim czasie od puszczenia kula, znajdzie się w najniższym położeniu ?

[DM]

ok 0,89 sek , wyliczasz dlugosc ramienia po odchyleniu wyjdzie 8 m a nić tak na prawde ma 4 wiec bierzesz roznice i podstawiasz pod wzor na droge s=(v* t^{2} ):2

[jolasw]

Czy mógłbyś wyjaśnić o jakie ramie chodzi ?
Podany przez Ciebie wzór \(\displaystyle{ s = \frac{v t^2}{2}}\) chyba zawiera jakiś błąd bo jednostka się nie zgadza.
Kula porusza się po okręgu z przyspieszeniem.
Na każdej wysokości można policzyć jej prędkość na podstawie prawa zachowania energii, ale nie wiem jak to powiązać z czasem.
Czy ktoś może wie jak do tego podejść ?

[Dargi]

jolasw, oczywiście w tym wzorze jest błąd powinno być \(\displaystyle{ s=\frac{at^2}{2}}\)
Co do zadania to zauważ że wiedząc o jaki kąt odchylono nić możemy policzyć na jaką wysokość uniosła się kula.

Oczywiście przy dobrze wykonanym rysunku mamy że \(\displaystyle{ \frac{h}{l}=cos\alpha}\)
Gdzie zmiana wysokości \(\displaystyle{ \Delta h=l-h=l(1-cos\alpha)}\)

Jeżeli za punkt odniesienia obierzemy odchylenie to będziemy mieli że:
\(\displaystyle{ E_c=0\iff -mg(\Delta h-x)+\frac{m\dot{x}^2}{2}=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ x=l(1-cos\beta)}\)
Co daje nam że \(\displaystyle{ \dot{x}^2=2gl(cos\beta-cos\alpha)}\) mamy więc że:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=\sqrt{2gl(cos\beta-cos\alpha)}}\)
a że \(\displaystyle{ dx=d\beta l}\) mamy że:
\(\displaystyle{ d\beta=\frac{\sqrt{2gl(cos\beta-cos\alpha)}}{l} dt\\dt=\frac{l}{\sqrt{2gl(cos\beta-cos\alpha)}} d\beta\\t=\int_\alpha^0 \frac{l}{\sqrt{2gl(cos\beta-cos\alpha)}} d\beta}\)

Co daje nam ostatecznie że \(\displaystyle{ t=\frac{l}{\sqrt{2gl}}\int_\alpha^0\frac{1}{\sqrt{cos\beta-cos\alpha}}d\beta}\)

Policzysz całkę i masz gotowe.

[jolasw]

Co do zadania to zauważ że wiedząc o jaki kąt odchylono nić możemy policzyć na jaką wysokość uniosła się kula.

Tak, zgadzam się.

Ten kamień wykonuje ruch harmoniczny, o amplitudzie \(\displaystyle{ A=\Delta h}\)

Gdyby to był ruch harmoniczny to faktycznie sprawa byłaby prostsza.
Problem właśnie w tym, że ruch harmoniczny jest jedynie dla małych wychyleń wahadła, wykładowca podał nam, że do 15 stopni.
Dla większych odchyleń trzeba znaleźć równanie ruchu i wyliczyć z niego czas i właśnie z tym mam problem.
Rysunek (trzeba usunąć spacje bo nie mogę wprowadzić odnośnika)
img384 . imageshack . us / img384 / 8618 / wahadloun5.gif

W każdym punkcie ruchu możemy wyliczyć prędkość korzystając z energii
i możemy też powiązać to z przebytą przez kulę drogą.
Jak z tego wyliczyć czas ?

[Dargi]

jolasw, widziałaś starą wersje;)

[Wasilewski]

Dargi, to jest całka eliptyczna.

[jolasw]

Dzięki, Dargi.
Czy mógłbyś mi jeszcze powiedzieć gdzie jest kąt beta ?
Tej całki to na razie nie wiem jak policzyć

[Dargi]

jolasw, kąt \(\displaystyle{ \beta}\)tak łopatologiczie to kąt który "porusza się" po łuku kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).. Po prostu kąt \(\displaystyle{ \beta}\) ma swój początek gdzie kat \(\displaystyle{ \alpha}\) i badamy jego zmienność aż do \(\displaystyle{ \beta=0}\)

[ Dodano: 7 Stycznia 2009, 12:27 ]
Wasilewski, da się ją jakoś policzyć?

[Wasilewski]

Pewnie numerycznie.

[jolasw]

Rozumiem, dzięki.
Obawiam się, że nie dam sobie rady z tą całką.
Zadanie nie wyglądało tak źle na początku, ale chyba jest trudniejsze niż się wydaje...

[Wasilewski]

Wartości są pewnie stablicowane, więc możesz poszukać (na przykład w poradniku encyklopedycznym Bronsztejna i Siemiendiajewa).

[Dargi]

Jak wbije w kalkulator tą całkę. To mi wywala błąd.

[Maciek.mat]

Cześć wszystkim. Interesuję się matematyką i fizyką, jestem maturzystą i zamierzam studiować właśnie te kierunki. To jest mój pierwszy post i zdecydowałem się, by najpierw napisać post, a potem założyć ewentualnie temat. Moje pytanie: Dargi, skąd wziął się ten wzór z użyciem całki, bo o wahadle nie mogłem znaleźć prawdziwych wzorów, tylko ten prosty z pierwiatkiem z długością nitki i przyspieszeniem na planecie: \(\displaystyle{ 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }}\). Nawet na Wikipedii nie widziałem takiego wzoru na okres drgań wahadła w zależności od wychylenia. A druga sprawa chciałbym wiedzieć, czy głównym powodem, dla którego powstają tematy, to problemy z zadaniami? Czy można zakładać tematy o różnych zjawiskach jako zainteresowany, a nie tylko treści zadań z prośbą o szybką odpowiedź?

[Dargi]

Maciek.mat, ten wzór jest dobry dla wychyleń \(\displaystyle{ \alpha~7^o}\) a my mamy do czynienia z wychyleniem \(\displaystyle{ 60^o}\)