Ustalone drgania wymuszone belki wspornikowej - naprężenia

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Ustalone drgania wymuszone belki wspornikowej - naprężenia

Post autor: StudentIB »

Witam,

w książce "Formulas for Dynamics, Acoustics and Vibrations" R.D. Blevinsa znalazłem taki wzór na naprężenia zginające w belce wspornikowej obciążonej siłą harmoniczną (zakładając drgania ustalone):

\(\displaystyle{ \sigma=\frac{F_{0}Ec}{m \omega_{1}^{2}L} \frac{\pi^{2}}{4L^{2}} \frac{2.1^{2}(1.78)(1- \cos{\pi x_{0}}/2L)}{\sqrt{(1-f^{2}/f_{i}^{2})^{2}+(2 \xi_{i} f / f_{i})^{2}}} \cos{\frac{\pi x}{2L}} \cos{(\omega t - \varphi)}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ F_{0}}\) - amplituda siły, \(\displaystyle{ E}\) - moduł Younga, \(\displaystyle{ c}\) - odległość punktu przekroju, dla którego liczymy naprężenia od osi obojętnej, \(\displaystyle{ m}\) - masa na jednostkę długości, \(\displaystyle{ \omega_{i}=2 \pi f_{i}}\) - częstość własna w \(\displaystyle{ \frac{rad}{s}}\)dla i-tej postaci drgań, \(\displaystyle{ L}\) - długość belki, \(\displaystyle{ x_{0}}\) - odległość siły skupionej od utwierdzonego końca belki, \(\displaystyle{ f}\) - częstotliwość wzbudzenia, \(\displaystyle{ f_{i}}\) - częstość własna w \(\displaystyle{ Hz}\) dla i-tej postaci drgań, \(\displaystyle{ \xi_{i}}\) - współczynnik tłumienia dla i-tej postaci drgań, \(\displaystyle{ x}\) - odległość punktu, dla którego liczymy naprężenia od utwierdzonego końca belki.

Przyjąłem następujące dane:
- przekrój kwadratowy o długości boku \(\displaystyle{ 0.04 \ m}\)
- \(\displaystyle{ L=1 \ m}\)
- \(\displaystyle{ F_{0}=5000 \ N}\)
- \(\displaystyle{ E=210 \ GPa}\), \(\displaystyle{ \nu=0.3}\), \(\displaystyle{ \rho=7850 \frac{kg}{m^{3}}}\)
- \(\displaystyle{ \xi_{1}=0.03}\)
- \(\displaystyle{ f=40 \ Hz}\)
- \(\displaystyle{ c=0.02 \ m}\)
- \(\displaystyle{ x=0 \ m}\)

Najpierw wyliczyłem pierwszą częstość drgań własnych potrzebną do podanego wyżej wzoru. Wynosi ona \(\displaystyle{ f_{1}=33.3908 \ Hz}\) (ta wartość na pewno jest poprawna, sprawdziłem metodą numeryczną o czym napiszę niżej) a więc \(\displaystyle{ \omega_{1}=209.801 \frac{rad}{s}}\).

Podstawiając te dane do wzoru pomijam jego ostatni człon: \(\displaystyle{ \cos{(\omega t - \varphi)}}\), ponieważ, z tego co rozumiem, nie jest on potrzebny gdy szukam tylko amplitudy naprężeń.

Po podstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ \sigma=1.67128 \cdot 10^{9} \ Pa}\), tymczasem wartość uzyskana z analizy numerycznej (metodą elementów skończonych) drgań ustalonych w dziedzinie częstotliwości to \(\displaystyle{ 1.141 \cdot 10^{9} \ Pa}\). W przeliczeniach ze wzoru nie ma pomyłki - sprawdziłem je w dwóch programach do obliczeń symbolicznych. Błąd może leżeć w samym podejściu, przypuszczam, że źle zinterpretowałem/zrozumiałem albo pominąłem jakiś aspekt związany z teorią drgań wymuszonych. Co ciekawe, stosunek pierwszego i drugiego wyniku jest bliski \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), więc może różnica nie jest przypadkowa. Nie wiem jednak co może ją powodować. Drugi wynik, odczytywany z analizy numerycznej, jest częścią rzeczywistą i nie powinien mieć postaci RMS.

Gdzie może leżeć błąd ?

Z góry dziękuję za pomoc.
ODPOWIEDZ