Wektor natężenia pola elektrycznego

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
Gdziemojekonie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 507
Rejestracja: 24 sty 2014, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: KRK
Podziękował: 382 razy

Wektor natężenia pola elektrycznego

Post autor: Gdziemojekonie »

Bardzo proszę o nakierowanie mnie, w jaki sposób powinienem rozwiązać takie zadanie ? Jakiego wzoru powinienem tu użyć ?


Płaszczyzna \(\displaystyle{ x=0}\) jest granicą dwóch ośrodków o następujących parametrach:
ośrodek 1 dla \(\displaystyle{ x<0: \epsilon _{1} = 1 \cdot \epsilon _{0}, \mu _{1} = 1 \cdot \mu _{0} , \sigma _{1} = 0 }\)
ośrodek 2 dla \(\displaystyle{ x>0: \epsilon _{2} = 3 \cdot \epsilon _{0}, \mu _{2} = 1 \cdot \mu _{0} , \sigma _{2} = 0 }\)
Tuż przy powierzchni rozdziału w ośrodku 1 podany jest wektor natężenia pola elektrycznego:
\(\displaystyle{ \vec{E _{1} } = \vec{2i _{} y} + \vec{6i _{z} } }\)

Należy wyliczyć wektor natężenia pola elektrycznego \(\displaystyle{ \vec{E _{2} } }\) w ośrodku 2
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Wektor natężenia pola elektrycznego

Post autor: pkrwczn »

Wektor indukcji elektrycznej nie zależy od ośrodka i będzie taki sam po obu stronach granicy. Więc zatężenie pola elektrycznego jest odwrotnie proporcjonalne do przenikalności elektrycznej ośrodka.
Gdziemojekonie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 507
Rejestracja: 24 sty 2014, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: KRK
Podziękował: 382 razy

Re: Wektor natężenia pola elektrycznego

Post autor: Gdziemojekonie »

Jak na to wpadłeś i po co było nam podane \(\displaystyle{ \vec{E _{1} } = \vec{2i _{} y} + \vec{6i _{z} } }\) ?
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Wektor natężenia pola elektrycznego

Post autor: pkrwczn »

Niestety podane przeze mnie wnioskowanie jest niepoprawne, ponieważ jest niezgodne z zasadą zachowania energii w polu sił zachowawczych.

Mając dwa ośrodki dielektryczne, wektor natężenia pola elektrycznego przechodzący z ośrodka 1 do ośrodka 2 należy rozłożyć na część styczną i normalną do granicy ośrodków \(\displaystyle{ \vec{E_{1}} = \vec{E_{1T}}+\vec{E_{1n}}}\).

Komponent styczny podlega zależnościom \(\displaystyle{ E_{1T}=E_{2T}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{D_{1T}}{\epsilon_1}=\frac{D_{2T}}{\epsilon_2}}\).

W podanym przykładzie mamy tylko komponent styczny, więc \(\displaystyle{ \vec{E_1}=\vec{E_2}}\).

W ogólnym przypadku, gdyby istniał dodatkowo komponent normalny do granicy to \(\displaystyle{ D_{1n}=D_{2n}}\), więc \(\displaystyle{ \epsilon_1 E_{1n}=\epsilon_2 E_{2n}}\). \(\displaystyle{ \ \ \vec{E_{2}} = \vec{E_{1T}}+\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}\vec{E_{1n}}}\).

Dowód na to, że styczny komponent natężęnia pola elektrycznego jest równy po obu stronach granicy: rozpatrzymy krzywę zamkniętą w kształcie prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie bok AB znajduje się całkowicie w pierwszym ośrodku i jest równoległy do granicy osrodków. Bok CD znajduje się całkowicie w drugim ośrodku i też jest prostopadły do granicy ośrodków. Boki BC i DA są prostopadłe do granicy i przecinają ją.

Praca potrzebna na przeniesienie ładunku q po drodze ABCD wynosi \(\displaystyle{ W_{ABCD}=q\int_{AB}\vec{E_{AB}}\cdot \vec{\dd l}+q\int_{BC}\vec{E_{BC}}\cdot \vec{\dd l}+q\int_{CD}\vec{E_{CD}}\cdot \vec{\dd l}+q\int_{DA}\vec{E_{DA}}\cdot \vec{\dd l}=0}\). Musi się równać zero ponieważ mamy pole zachowawcze.

Boki BC i DA możemy dobrać dowolnie małe, więc druga i czwarta całka dąży do zera dla \(\displaystyle{ \left| BC\right| \to 0 \ \ }\) i \(\displaystyle{ \ \ \left| DA\right| \to 0}\). \(\displaystyle{ \ \left| BC\right| =\left| DA\right| }\), wektory możemy zastąpić wartościami skalarnymi, całkowanie zamienia się w mnożenie, \(\displaystyle{ E_{AB}=E_{1T}}\) oraz \(\displaystyle{ E_{CD}=E_{2T}}\): \(\displaystyle{ W_{ABCD}=q E_{1} \left| AB\right| - q E_{2} \left| CD\right| =0}\). Ten minus wziął się stąd, że różniczki przemieszczenia w tych dwóch całkach mają przeciwne zwroty.

I mamy \(\displaystyle{ E_{1T}=E_{2T}}\), z czego indukcja pola elektrycznego \(\displaystyle{ \frac{\vec{D_{1T}}}{\epsilon_1} = \frac{\vec{D_{2T}}}{\epsilon_2} }\).

Dowód na to, że komponent normalny wektora indukcji pola elektrycznego po obu stronach granicy jest jednakowy: Wynika z prawa Gaussa, za powierzchnię wybieramy cylinder o podstawach równoległych do granicy ośrodków. Wybieramy dowolnie małą wysokość tego cylindra \(\displaystyle{ H \to 0}\), przy czym jedna podstawa znajduje się w ośrodku 1, a druga podstawa w ośrodku 2. Powierzchnia nie zawiera ładunków: \(\displaystyle{ \Phi = \int_{podstawa \ 1} \vec{D_{1n}}\cdot \vec{\dd S}+\int_{podstawa \ 2} \vec{D_{2n}}\cdot \vec{\dd S}=0}\). Obie podstawy mają równą powierzchnię, ich normalne są równoległe do wektorów indukcji elektrycznej \(\displaystyle{ D_{1n}}\) i \(\displaystyle{ D_{2n}}\) ale skierowane w przeciwnie, więc \(\displaystyle{ D_{1n}=D_{2n}}\), a z tego \(\displaystyle{ \epsilon_1 E_{1n}=\epsilon_2 E_{2n}}\).
ODPOWIEDZ