Superpozycja fal stojących

[kamael666]

Witam, pół dnia męczę się z zadaniem:

"Dana jest fala harmoniczna w postaci \(\displaystyle{ Ψ(x,t)=A\sin(kx+ωt)}\) . Udowodnić, że dowolną falę tej postaci można przedstawić jako superpozycję dwóch identycznych fal stojących, przesuniętych względem siebie w fazie (w czasie i w przestrzeni)."

Próbowałem za jedną z nich podstawić:

\(\displaystyle{ Ψ=2A\sin(kx) \cos (ωt)}\) , a za drugą:

\(\displaystyle{ Ψ=2A\sin(kx) \cos (ωt+φ)}\) i dodać z zasady superpozycji, ale wyszło mi:

\(\displaystyle{ Ψ=4A\sin(kx) \cos (ωt+φ) \cos \left( \frac{φ}{2} \right)}\) i po założeniu że \(\displaystyle{ φ=0 }\) :

\(\displaystyle{ Ψ=4A\sin(kx) \cos (ωt)}\) no i jak widać to nie jest to :/ . Myślałem jeszcze żeby to zrobić jakoś z równania falowego, ale nie widzę tego.
Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję.

[AiDi]

Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów i wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ \sin(kx+\omega t)=\sin(kx)\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\cos(kx)=\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)+\cos(kx)\sin(\omega t)}\)
Przy czym założyłem, że funkcja falowa fali stojącej jest postaci \(\displaystyle{ \psi=2A\cos(kx)\sin(\omega t)}\) bo jakoś bardziej do takiej postaci jestem przyzwyczajony. Czy już wiesz jak temat pociągnąć dalej? Bo to praktycznie koniec.

[kamael666]

Ok, dwa pytania:
-pierwsze weryfikacyjne (chcę trygonometrię zrobić tak żeby było jak w zadaniu, i na ćw. i na wykł. tak mamy, więc wolę to utrzymać, a faza to faza kolejność z tego co wiem nie ma znaczenia):

\(\displaystyle{ A\sin(kx+ωt)=A[\sin(kx)\cos(ωt)+\sin(ωt)\cos(kx)]=A\left[ \sin(kx)\cos(ωt)+\sin\left( \frac{\pi}{2} -kx\right) \cos\left( \frac{ \pi }{2} -ωt\right)\right] }\)

-drugie: gdzie się ta \(\displaystyle{ 2}\) z przed amplitudy gubi? Bo jak nie ma \(\displaystyle{ 2A}\), no to tak nie do końca wygląda jak fala stojąca :/

[AiDi]

Co do pierwszego pytania to jest ok.

-drugie: gdzie się ta \(\displaystyle{ 2}\) z przed amplitudy gubi? Bo jak nie ma \(\displaystyle{ 2A}\), no to tak nie do końca wygląda jak fala stojąca :/

A ja zadam pytanie: skąd ta \(\displaystyle{ 2}\) się w ogóle bierze i jaka jest jej rola? Otóż jak się omawia fale stojące to zwykle naszym punktem wyjścia są dwie fale biegnące w przeciwne strony, mające amplitudę \(\displaystyle{ A}\). W wyniku interferencji powstaje fala stojąca, której maksymalna amplituda jest równa \(\displaystyle{ 2A}\). Rola tej \(\displaystyle{ 2}\) jest istotna tylko w kontekście tych dwóch fal wyjściowych. Jeśli omawiasz fale stojące bez zastanawiania się skąd się one wzięły, to możesz funkcję falową zapisać po prostu jako \(\displaystyle{ \psi=A'\sin(kx)\cos(\omega t)}\). I tak jest w tym przypadku. Dla Ciebie te fale stojące są obiektami z których budujesz nową falę i nie musi Ciebie interesować skąd one się wzięły.
Ale owszem, konwencja jest taka, że się tę dwójkę na siłę stawia i jak sobie zdefiniujesz \(\displaystyle{ A=2A'}\), gdzie \(\displaystyle{ A'}\) to nieistotne dla zadania amplitudy fal które złożyły się na obie fale stojące, to będziesz miał dwójkę tak jak "trzeba"

[kamael666]

Faktycznie ech jak człowiek za długo nad czymś siedzi, to nawet zapomina o podstawach... Jeszcze raz wielkie dzięki!