Średnia energia kinetyczna

[zaliczenie14]

Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie \(\displaystyle{ A}\) i okresie \(\displaystyle{ T}\). Ile wynosi średnia energia kinetyczna, jeżeli masa punktu wynosi \(\displaystyle{ m}\) ?

[Gosda]

Jaki jest wzór na energię kinetyczną? Jaki jest wzór na prędkość punktu (w zależności od czasu)?

[zaliczenie14]

\(\displaystyle{ E_{k}= \frac{m v^{2} }{2} }\)
\(\displaystyle{ v=4 \frac{A}{T} }\)
\(\displaystyle{ E_{k}=8m \left( \frac{A}{T} \right) ^{2} }\)

Czy to jest dobrze ?

[Gosda]

Nie, bo prędkość nie jest stała, tylko wynosi

\(\displaystyle{ v(t) = A \omega \sin (\omega t + \varphi)}\),

zatem

\(\displaystyle{ E_k = \frac{m}{2} A^2 \omega^2 \sin^2 (\omega t + \varphi)}\)

dlatego do wyznaczenia wartości średniej liczysz całkę

\(\displaystyle{ \overline{E_k} = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{m}{2} A^2 \omega^2 \sin^2 (\omega t + \varphi) \,\mathrm{d}t }\)