Wartość logarytmiczna dekrementu tłumienia oraz czas
-
rex39
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 13:10
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 6 razy
Wartość logarytmiczna dekrementu tłumienia oraz czas
Ampiltuda wahadła matematycznego o długości \(\displaystyle{ L=0,8m}\) zmalała w ciągu \(\displaystyle{ t=100s}\) o jedną trzecią. Oblicz wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia oraz czas \(\displaystyle{ T}\), w ciągu którego ampiltuda przemieszczania maleje \(\displaystyle{ e}\)-razy.
Ostatnio zmieniony 27 sty 2020, o 12:10 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wartości wielkości fizycznych i pojedyncze symbole literowe zapisujemy z użyciem LateXa.
Powód: Wartości wielkości fizycznych i pojedyncze symbole literowe zapisujemy z użyciem LateXa.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wartość logarytmiczna dekrementu tłumienia oraz czas
Dane
\(\displaystyle{ L = 0,8 }\) m.
\(\displaystyle{ t_{1} = 100 }\) s.
Obliczyć
\(\displaystyle{ \Lambda }\) - logarytmiczny dekrement tłumienia.
\(\displaystyle{ T }\) - czas, po którym amplituda zmaleje \(\displaystyle{ e- }\) razy.
Rozwiązanie
Wahadło matematyczne wykonuje drgania tłumione o amplitudzie
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0} e^{-\beta t} }\)
i częstości
\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \omega_{0}^2 - \beta ^2} \ \ (1) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}} \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ T_{0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \ \ (3)}\)
Z treści zadania wynika, że
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0} e ^{-\beta t_{1}} = \frac{1}{3}A_{0} }\)
Stąd współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta: }\)
\(\displaystyle{ \beta = -\frac{1}{t_{1}}\ln\left(\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{t_{1}}\ln 3 \ \ (4) }\)
Logarytmiczny dekrement
\(\displaystyle{ \Lambda = \beta \cdot T = 2\pi \frac{\beta}{\omega} \ \ (5) }\)
Czas \(\displaystyle{ T, }\) po którym amplituda przemieszczenia wahadła zmaleje \(\displaystyle{ e }\) razy :
\(\displaystyle{ \frac{A(t)}{A(t + T)} = e }\)
\(\displaystyle{ \frac{A_{0} e^{-\beta t}}{A_{0}e^{-\beta t +T}} = \frac{e^{-\beta t}}{e^{-\beta t}\cdot e^{-\beta T}} = e^{\beta T} = e^{1} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \beta T = 1 }\)
\(\displaystyle{ T = \frac{1}{\beta} \ \ (6) }\)
Czas \(\displaystyle{ T }\) nazywamy czasem relaksacji, jest on odwrotnością współczynnika tłumienia.
Proszę na podstawie równań \(\displaystyle{ (1)-(5) }\) określić ogólny wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia, podstawić dane liczbowe i obliczyć jego wartość i wartość czasu relaksacji.
Dodano po 5 godzinach 47 minutach 56 sekundach:
Dziękuję Panie Kruszewski.
\(\displaystyle{ L = 0,8 }\) m.
\(\displaystyle{ t_{1} = 100 }\) s.
Obliczyć
\(\displaystyle{ \Lambda }\) - logarytmiczny dekrement tłumienia.
\(\displaystyle{ T }\) - czas, po którym amplituda zmaleje \(\displaystyle{ e- }\) razy.
Rozwiązanie
Wahadło matematyczne wykonuje drgania tłumione o amplitudzie
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0} e^{-\beta t} }\)
i częstości
\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \omega_{0}^2 - \beta ^2} \ \ (1) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}} \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ T_{0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \ \ (3)}\)
Z treści zadania wynika, że
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0} e ^{-\beta t_{1}} = \frac{1}{3}A_{0} }\)
Stąd współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta: }\)
\(\displaystyle{ \beta = -\frac{1}{t_{1}}\ln\left(\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{t_{1}}\ln 3 \ \ (4) }\)
Logarytmiczny dekrement
\(\displaystyle{ \Lambda = \beta \cdot T = 2\pi \frac{\beta}{\omega} \ \ (5) }\)
Czas \(\displaystyle{ T, }\) po którym amplituda przemieszczenia wahadła zmaleje \(\displaystyle{ e }\) razy :
\(\displaystyle{ \frac{A(t)}{A(t + T)} = e }\)
\(\displaystyle{ \frac{A_{0} e^{-\beta t}}{A_{0}e^{-\beta t +T}} = \frac{e^{-\beta t}}{e^{-\beta t}\cdot e^{-\beta T}} = e^{\beta T} = e^{1} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \beta T = 1 }\)
\(\displaystyle{ T = \frac{1}{\beta} \ \ (6) }\)
Czas \(\displaystyle{ T }\) nazywamy czasem relaksacji, jest on odwrotnością współczynnika tłumienia.
Proszę na podstawie równań \(\displaystyle{ (1)-(5) }\) określić ogólny wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia, podstawić dane liczbowe i obliczyć jego wartość i wartość czasu relaksacji.
Dodano po 5 godzinach 47 minutach 56 sekundach:
Dziękuję Panie Kruszewski.