Pytanie na temat drgań

[zaliczenie14]

Witam, szukam odpowiedzi na pytanie dlaczego obserwacja drgań wymuszonych pozwala wnioskować o postaciach drgań swobodnych ? Przeglądałem internet i nie mogę znaleźć żadnych konkretów. Proszę o pomoc

[Janusz Tracz]

Zwykle badanie drgań przeprowadza się z wykorzystaniem metodologii analizy modalnej. Można rozróżnić jej rodzaje na teoretyczną, eksperymentalną i eksploatacyjną analizę modalną. Studiując metody obliczeniowe dla teoretycznej i eksperymentalnej analizy modalnej (w eksploatacyjnej to wygląda trochę inaczej ale na niej znam się najmniej, więc tu się nie będę wypowiadał) można zrozumieć intuicyjnie dlaczego istnieje możliwość wywnioskowania częstotliwości własnych na podstawie wymuszenia drgań. Zatem metodologia badań (i teoria) zakłada iż obiekt badany (lub opisywany matematycznie modelem) opisywalny transmitancją. Założenie transmitancji wymusza liniowość modelu i zerowe warunki początkowe (jest to w rzeczywistości spełnione z pewną dokładnością o ile nie zakładamy rzeczy pokroju zmienna sztywność sprężyny czy zmienne tłumienie). Opis drgań za pomocą transmitancji to:

\(\displaystyle{ \mathbf{H}(s)= \frac{\mathcal{L}\left\{ \text{ odpowiedź obiektu w postaci przyspieszenia lub przemieszczenia)}\right\} }{\mathcal{L}\left\{ \text{wymuszenie zadane na obiekt}\right\} } }\)

Tak dokonany opis "plasterkuje" się zamieniając zmienną zespoloną \(\displaystyle{ s \rightarrow i\omega}\) co pozwala wykreślić funkcje przejścia a z nich od razy widać jakie są częstotliwości drgań. Twoje pytanie związane jest z tym dlaczego funkcja przejścia czyli transmitancja pokazuje drgania własne. Jest tak dlatego bo obiekt drga z taką częstotliwością jaką się na nim zada zmienia się tylko amplituda tych drgań (dla drgań własnych dąży do \(\displaystyle{ \infty }\) choć w rzeczywistości tłumienie nie pozwoli na osiągnięciu \(\displaystyle{ \infty }\)). Dlatego naturalnym pomysłem jest zadanie wszystkich częstotliwości na raz czyli podanie sygnału w dziedzinie częstotliwości stale równego \(\displaystyle{ 1}\). Pytanie jaki jest sygnał dla którego

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \text{wymuszenie zadane na obiekt}\right\} =1}\)

wszak w tedy funkcja przejścia \(\displaystyle{ \mathbf{H}(i\omega)}\) będzie równa z \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \text{ odpowiedź obiektu w postaci przyspieszenia}\right\}}\). Okazuje się, że \(\displaystyle{ \text{wymuszenie zadane na obiekt}=\delta_0}\) (Delta Diraca) realizuje powyższe równanie. Jest to sygnał szeroko pasmowy zadający wszystkie częstotliwości na raz. Wtedy patrząc na \(\displaystyle{ |\mathbf{H}(i\omega)|}\) od razy widać gdzie amplituda jest "duża" a gdzie "mała" czyli dla jakich częstotliwości mamy rezonans. Samą realizację zadania \(\displaystyle{ \delta_0}\) na obiekt robi się różnie w zależności od tego czy mowa o teorii czy praktyce. W teorii można po prostu podstawić i policzyć, że \(\displaystyle{ \mathcal{L}\{\delta_0\}=1}\) a eksperymentalnie \(\displaystyle{ \delta_0}\) to uderzenie młotkiem w to co ma drgań (oczywiście to nie jest zwykły młotek tylko młotek modalny z czynnikiem siły).

Podsumowując. Drgania wymusza się bardzo specyficznym sygnałem \(\displaystyle{ \delta_0}\) (jego przybliżeniem) lub innymi sygnałami szeroko pasmowymi (nie opisałem ich tu takimi sygnałami są szumy i ćwierkot) dlatego na funkcje przejścia można patrzeć jak na drgania zadane wszystkimi częstotliwościami na raz. Liniowość obiektu zapewnia zasadę superpozycji a amplituda jest tylko indykatorem częstotliwości rezonansowych. Stąd wniosek i intuicja jak się bada drgania swobodne za pomocą wymuszeń.

[janusz47]

Równanie drgań swobodnych oscylatora

\(\displaystyle{ mx'' = -k^2 x \ \ (1) }\) - równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu liniowe - jednorodne

Równanie ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego

\(\displaystyle{ mx'' = -k^2 x + \rho x' \ \ (2) }\)- równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu liniowe niejednorodne

Znając rozwiązania równania \(\displaystyle{ (2) }\) odpowiadające trzem przypadkom: aperiodycznym, granicznym i periodycznym w zależności od wartości stałych \(\displaystyle{ \rho, \ \ k, }\) - znamy rozwiązanie i charakter ruchu opisanego równaniem \(\displaystyle{ (1) }\) ale nie odwrotnie.

Wynika to z zasady rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych liniowych niejednorodnych.

[a4karo]

\(\displaystyle{ mx^{''} = -k^2 x + \rho x^{'} \ \ (2) }\)- równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu liniowe niejednorodne

???

[zaliczenie14]

Dziękuje za pomoc