Witam. Mam takie zadanko:
Jaka jest amplituda fali wypadkowej powstałej w wyniku nałożenia się dwóch fal harmonicznych o takiej samej częstotliwości i amplitudach równych odpowiednio 1 cm i 2 cm jeżeli oscylacje różnią się w fazie o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) .
Fale rozchodzą się w jednym kierunku.
znalałem na forum takie coś:
391815.htm
\(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\ \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin (2 \pi ft+ \beta )\right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \phi )}\)
Ale nie rozumiem skąd się tam ten wzór wziął. Dlaczego taki z tym pierwiastkiem? Gdy amplitudy są jednakowe to potrafie dodać, ale jak różne to nie wiem jak te współczynniki przy sinusach się robi.
Mógłby ktoś mi wyjaśnić dlaczego akurat ten pierwiastek tam jest? Dziękuję.
suma fal o różnych amplitudach
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: suma fal o różnych amplitudach
Otóż przeczytałem, jednak nie rozumiem dlaczego zachodzi taka równość:
\(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\=A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right) +A _{2} \left( \sin 2 \pi ft \cos \beta +\cos 2 \pi ft \sin \beta )\right)}\)
Z czego bierze się takie rozwinięcie tego \(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\) w \(\displaystyle{ A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right)}\)
Edit:
Ogarnąłęm. W sumie z wzorów na mnożenie sinusow i cosinusow
Bo tam się ładnie poskraca i będzie równość. Kurde, sprytna ta matematyka, musze przyznać.
\(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\=A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right) +A _{2} \left( \sin 2 \pi ft \cos \beta +\cos 2 \pi ft \sin \beta )\right)}\)
Z czego bierze się takie rozwinięcie tego \(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\) w \(\displaystyle{ A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right)}\)
Edit:
Ogarnąłęm. W sumie z wzorów na mnożenie sinusow i cosinusow
Bo tam się ładnie poskraca i będzie równość. Kurde, sprytna ta matematyka, musze przyznać.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
suma fal o różnych amplitudach
Tu można łatwiej:
Ponieważ fale są przesunięte o ćwierć okresu to traktuję je jako \(\displaystyle{ x_1=A _{1} \sin 2 \pi ft}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=A _{2} \cos 2 \pi ft}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A _{1} \sin 2 \pi ft+A _{2} \cos 2 \pi ft= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\)
Na amplitudę wypadkową nie ma wpływu gdzie wstawi się podane wartości amplitud.
Skoro:
\(\displaystyle{ \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right) ^2+\left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)^2=1}\)
to można przyjąć że:
\(\displaystyle{ \left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)=\cos \alpha \wedge \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{2}^2+A _{2}^2}} \right)=\sin \alpha}\)
Ponieważ fale są przesunięte o ćwierć okresu to traktuję je jako \(\displaystyle{ x_1=A _{1} \sin 2 \pi ft}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=A _{2} \cos 2 \pi ft}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A _{1} \sin 2 \pi ft+A _{2} \cos 2 \pi ft= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\)
Na amplitudę wypadkową nie ma wpływu gdzie wstawi się podane wartości amplitud.
Skoro:
\(\displaystyle{ \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right) ^2+\left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)^2=1}\)
to można przyjąć że:
\(\displaystyle{ \left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)=\cos \alpha \wedge \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{2}^2+A _{2}^2}} \right)=\sin \alpha}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: suma fal o różnych amplitudach
wow,
A mógłbyś mi jeszcze powiedzieć co się stało tu?
\(\displaystyle{ \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\)
Nie moge tego rozkminić jak to się dzieje że potem mamy sam sinus
A mógłbyś mi jeszcze powiedzieć co się stało tu?
\(\displaystyle{ \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\)
Nie moge tego rozkminić jak to się dzieje że potem mamy sam sinus
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: suma fal o różnych amplitudach
Wykorzystuję wzór na sinus sumy:
\(\displaystyle{ \sin ( 2 \pi ft+\alpha )=\sin 2 \pi ft \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \cdot \cos 2 \pi ft}\)
a powyżej napisałem co przyjmuję za sinus i kosinus kąta alfa.
\(\displaystyle{ \sin ( 2 \pi ft+\alpha )=\sin 2 \pi ft \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \cdot \cos 2 \pi ft}\)
a powyżej napisałem co przyjmuję za sinus i kosinus kąta alfa.