suma fal o różnych amplitudach

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

suma fal o różnych amplitudach

Post autor: rivit »

Witam. Mam takie zadanko:
Jaka jest amplituda fali wypadkowej powstałej w wyniku nałożenia się dwóch fal harmonicznych o takiej samej częstotliwości i amplitudach równych odpowiednio 1 cm i 2 cm jeżeli oscylacje różnią się w fazie o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) .
Fale rozchodzą się w jednym kierunku.

znalałem na forum takie coś:
391815.htm

\(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\ \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin (2 \pi ft+ \beta )\right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \phi )}\)

Ale nie rozumiem skąd się tam ten wzór wziął. Dlaczego taki z tym pierwiastkiem? Gdy amplitudy są jednakowe to potrafie dodać, ale jak różne to nie wiem jak te współczynniki przy sinusach się robi.

Mógłby ktoś mi wyjaśnić dlaczego akurat ten pierwiastek tam jest? Dziękuję.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: suma fal o różnych amplitudach

Post autor: a4karo »

Znalazłeś wzorek, ale nie zadałeś sobie trudu przeczytania całego posta. Wróć do niego, przeczytaj i zrozumiesz.
rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: suma fal o różnych amplitudach

Post autor: rivit »

Otóż przeczytałem, jednak nie rozumiem dlaczego zachodzi taka równość:

\(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\=A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right) +A _{2} \left( \sin 2 \pi ft \cos \beta +\cos 2 \pi ft \sin \beta )\right)}\)

Z czego bierze się takie rozwinięcie tego \(\displaystyle{ A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\) w \(\displaystyle{ A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right)}\)


Edit:
Ogarnąłęm. W sumie z wzorów na mnożenie sinusow i cosinusow :o
Bo tam się ładnie poskraca i będzie równość. Kurde, sprytna ta matematyka, musze przyznać.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

suma fal o różnych amplitudach

Post autor: kerajs »

Tu można łatwiej:
Ponieważ fale są przesunięte o ćwierć okresu to traktuję je jako \(\displaystyle{ x_1=A _{1} \sin 2 \pi ft}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=A _{2} \cos 2 \pi ft}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A _{1} \sin 2 \pi ft+A _{2} \cos 2 \pi ft= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\)

Na amplitudę wypadkową nie ma wpływu gdzie wstawi się podane wartości amplitud.

Skoro:
\(\displaystyle{ \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right) ^2+\left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)^2=1}\)
to można przyjąć że:
\(\displaystyle{ \left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)=\cos \alpha \wedge \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{2}^2+A _{2}^2}} \right)=\sin \alpha}\)
rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: suma fal o różnych amplitudach

Post autor: rivit »

wow,

A mógłbyś mi jeszcze powiedzieć co się stało tu?

\(\displaystyle{ \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )}\)

Nie moge tego rozkminić jak to się dzieje że potem mamy sam sinus
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: suma fal o różnych amplitudach

Post autor: kerajs »

Wykorzystuję wzór na sinus sumy:
\(\displaystyle{ \sin ( 2 \pi ft+\alpha )=\sin 2 \pi ft \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \cdot \cos 2 \pi ft}\)

a powyżej napisałem co przyjmuję za sinus i kosinus kąta alfa.
ODPOWIEDZ