Zad.1 Maksymalna prędkość punktu materialnego wykonującego ruch drgający prosty wynosi \(\displaystyle{ v_0}\). Obliczyć prędkość tego punktu w odległości od położenia równowagi równej połowie amplitudy.
Zad.2 Probówka o masie \(\displaystyle{ m_1}\) i polu przekroju poprzecznego \(\displaystyle{ S}\) zawiera masę \(\displaystyle{ m_2}\) rtęci i pływa w cieczy. Po wychyleniu w kierunku pionowym z położenia równowagi probówka wykonuje drgania swobodne. Podaj równanie działających sił i wyprowadź równanie różniczkowe tych drgań. Oblicz ich częstotliwość \(\displaystyle{ f}\), jeśli gęstość cieczy wynosi \(\displaystyle{ \rho}\). Wszelkie opory pominąć.
Proszę o pomoc
Probówka pływająca w cieczy
-
shay
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 20 maja 2019, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
Probówka pływająca w cieczy
Ostatnio zmieniony 20 maja 2019, o 12:09 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wartości wielkości fizycznych zapisujemy z użyciem LateXa.
Powód: Wartości wielkości fizycznych zapisujemy z użyciem LateXa.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Probówka pływająca w cieczy
Zadanie 1
\(\displaystyle{ v_{0} = A \omega}\)
\(\displaystyle{ v(t) = A \omega \cos (\omega \cdot t)}\)
\(\displaystyle{ x(t) = A \sin (\omega \cdot t )}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{2} = A \sin (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \sin (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ \omega t = \frac{1}{6}\pi}\)
\(\displaystyle{ v = v_{0} \cos \left(\frac{1}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{0}.}\)-- 20 maja 2019, o 22:16 --Zadanie 2
Analiza zadania
Na probówkę zanurzoną w wodzie na głębokość \(\displaystyle{ y}\) w stosunku do położenia równowagi działa dodatkowa siła wyporu zwana siłą zwracającą,, skierowana do góry, która pełni rolę siły sprężystości w ruchu harmonicznym.
Rozwiązanie
Stan równowagi
\(\displaystyle{ m\cdot g = F_{wyp}= V_{0}\cdot \rho \cdot g, \ \ m = m_{1} + m_{2}.}\)
Po zanurzeniu na głębokość \(\displaystyle{ y}\) -zgodnie z Prawem Archimedesa
\(\displaystyle{ F_{y} = -V\cdot \rho \cdot g.}\)
Sposób I
Z II Zasady Dynamiki Newtona - równanie różniczkowe drgań probówki
\(\displaystyle{ m \cdot \frac{d^2 y}{dt^2} = - S\cdot \rho \cdot g \cdot y \ \ (1)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}}y = 0}\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe zwyczajne rzędu II o stałych współczynnikach - jednorodne ruchu drgającego.
Współczynnik przy \(\displaystyle{ y}\) jest równy \(\displaystyle{ \omega_{0}^2}\) (proszę sprawdzić).
Skąd
\(\displaystyle{ \frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}} = 4\pi^2}\cdot f^2}\)
\(\displaystyle{ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}}}.}\)
Sposób II
Siłę zwracającą porównujemy z siłą w ruchu harmonicznym
\(\displaystyle{ F_{y} = m\cdot a_{y}}\)
\(\displaystyle{ F_{y} = -S\cdot \rho \cdot g \cdot y}\)
\(\displaystyle{ a_{y} = -\omega^2 \cdot y}\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 4\pi^2\cdot f^2 \cdot y}\)
\(\displaystyle{ -S\cdot \rho \cdot g \cdot y =-m \cdot 4\pi^2 \cdot f^2 \cdot y}\)
\(\displaystyle{ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}}}.}\)
\(\displaystyle{ v_{0} = A \omega}\)
\(\displaystyle{ v(t) = A \omega \cos (\omega \cdot t)}\)
\(\displaystyle{ x(t) = A \sin (\omega \cdot t )}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{2} = A \sin (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \sin (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ \omega t = \frac{1}{6}\pi}\)
\(\displaystyle{ v = v_{0} \cos \left(\frac{1}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{0}.}\)-- 20 maja 2019, o 22:16 --Zadanie 2
Analiza zadania
Na probówkę zanurzoną w wodzie na głębokość \(\displaystyle{ y}\) w stosunku do położenia równowagi działa dodatkowa siła wyporu zwana siłą zwracającą,, skierowana do góry, która pełni rolę siły sprężystości w ruchu harmonicznym.
Rozwiązanie
Stan równowagi
\(\displaystyle{ m\cdot g = F_{wyp}= V_{0}\cdot \rho \cdot g, \ \ m = m_{1} + m_{2}.}\)
Po zanurzeniu na głębokość \(\displaystyle{ y}\) -zgodnie z Prawem Archimedesa
\(\displaystyle{ F_{y} = -V\cdot \rho \cdot g.}\)
Sposób I
Z II Zasady Dynamiki Newtona - równanie różniczkowe drgań probówki
\(\displaystyle{ m \cdot \frac{d^2 y}{dt^2} = - S\cdot \rho \cdot g \cdot y \ \ (1)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}}y = 0}\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe zwyczajne rzędu II o stałych współczynnikach - jednorodne ruchu drgającego.
Współczynnik przy \(\displaystyle{ y}\) jest równy \(\displaystyle{ \omega_{0}^2}\) (proszę sprawdzić).
Skąd
\(\displaystyle{ \frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}} = 4\pi^2}\cdot f^2}\)
\(\displaystyle{ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}}}.}\)
Sposób II
Siłę zwracającą porównujemy z siłą w ruchu harmonicznym
\(\displaystyle{ F_{y} = m\cdot a_{y}}\)
\(\displaystyle{ F_{y} = -S\cdot \rho \cdot g \cdot y}\)
\(\displaystyle{ a_{y} = -\omega^2 \cdot y}\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 4\pi^2\cdot f^2 \cdot y}\)
\(\displaystyle{ -S\cdot \rho \cdot g \cdot y =-m \cdot 4\pi^2 \cdot f^2 \cdot y}\)
\(\displaystyle{ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{S\cdot \rho \cdot g}{m_{1}+m_{2}}}.}\)
Ostatnio zmieniony 20 maja 2019, o 16:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.