Skoczek o masie \(\displaystyle{ 65kg}\) wykonuje skok bungee. Nierozciągnięta lina ma długość \(\displaystyle{ 11m}\). Skoczek po oderwaniu się od pomostu spada w dół i po przebyciu \(\displaystyle{ 36m}\) zaczyna być wciągany do góry. Taki skok składa się ze swobodnego spadku z wysokości \(\displaystyle{ 11m}\), a następnie przez \(\displaystyle{ 25m}\) skoczek jest hamowany przez rozciągająca się linę. Jeśli wartość siły z jaką lina działa na ciało jest proporcjonalna do jej wydłużenia, to ten fragment skoku można uważać za ruch harmoniczny. Jaka jest amplituda drgań skoczka?
W jakim czasie skoczek przebywa odległość od najniższego punktu skoku do miejsca, w którym wypadkowa sił jest równa zeru?
Proszę o pomoc
Skoczek na bungee.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Skoczek na bungee.
Dane
\(\displaystyle{ m = 65 kg}\)
\(\displaystyle{ l = 11 m}\)
\(\displaystyle{ h = 36 m}\)
\(\displaystyle{ y = 25 m}\)
\(\displaystyle{ g = 10 \frac{m}{s^2}}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ t}\) - czas spadku swobodnego
\(\displaystyle{ k}\) - współczynnik sprężystości liny
\(\displaystyle{ y_{0}}\) - głębokość skoku, w którym wypadkowa sił jest równa zeru
\(\displaystyle{ A}\) - amplituda drgań skoczka
Analiza zadania
Skoczek w pierwszej fazie skoku spada swobodnie, przebywając drogę \(\displaystyle{ l = 11 m,}\) gdy lina nie rozciąga się. W drugiej fazie lotu, na skoczka oprócz siły ciężkości zaczyna działać siła sprężystości rozciągającej się liny. Ruch skoczka staje się ruchem opóźnionym- niejednostajnym, aż do momentu osiągnięcia najniższego położenia \(\displaystyle{ 36 m.}\) W tej fazie ruchu mija miejsce \(\displaystyle{ y_{0},}\)
w którym wypadkowa sił jest równa zeru. Miejsce to jest położeniem, wokół którego odbywają się drgania ruchu skoczka. Następnie porusza się w górę ruchem niejednostajnie przyśpieszonym, ponownie osiągając miejsce, w którym wypadkowa sił jest równa zeru. Gdy znajdzie się w odległości \(\displaystyle{ l = 11m}\) od miejsca zeskoku, linka przestaje być naprężoną, ale skoczek – przy założeniu zachowania energii – podnosi się do miejsca ruchem opóźnionym, z którego rozpoczął skok bungee Opisany cykl ruchu skoczka powtarza się.
Rozwiązanie
Czas swobodnego spadku
\(\displaystyle{ l = \frac{1}{2}gt^2}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2l}{g}}}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2\cdot 11}{10}} = 1,48 s.}\)
Współczynnik sprężystości liny
Z zasady zachowania energii
\(\displaystyle{ -m\cdot g \cdot h + \frac{1}{2}\cdot k \cdot y^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{2\cdot m \cdot g \cdot h}{y^2}}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{2\cdot 65 \cdot 10 \cdot 36}{25^2} = 74, 88 \frac{N}{m}}\)
Głębokość, na której wypadkowa siła jest równa się zeru
\(\displaystyle{ m\cdot g = k \cdot y_{r}}\)
\(\displaystyle{ y_{r} = \frac{m\cdot g}{k}}\)
\(\displaystyle{ y_{r} = \frac{65\cdot 10}{74,88} = 8,68 m}\)
\(\displaystyle{ y_{0} = (11 + 8,68 )m = 19, 68 m.}\)
Amplituda drgań skoczka
\(\displaystyle{ A = h - y_{0}}\)
\(\displaystyle{ A = (36 - 19,68 )m = 16, 32 m.}\)
\(\displaystyle{ m = 65 kg}\)
\(\displaystyle{ l = 11 m}\)
\(\displaystyle{ h = 36 m}\)
\(\displaystyle{ y = 25 m}\)
\(\displaystyle{ g = 10 \frac{m}{s^2}}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ t}\) - czas spadku swobodnego
\(\displaystyle{ k}\) - współczynnik sprężystości liny
\(\displaystyle{ y_{0}}\) - głębokość skoku, w którym wypadkowa sił jest równa zeru
\(\displaystyle{ A}\) - amplituda drgań skoczka
Analiza zadania
Skoczek w pierwszej fazie skoku spada swobodnie, przebywając drogę \(\displaystyle{ l = 11 m,}\) gdy lina nie rozciąga się. W drugiej fazie lotu, na skoczka oprócz siły ciężkości zaczyna działać siła sprężystości rozciągającej się liny. Ruch skoczka staje się ruchem opóźnionym- niejednostajnym, aż do momentu osiągnięcia najniższego położenia \(\displaystyle{ 36 m.}\) W tej fazie ruchu mija miejsce \(\displaystyle{ y_{0},}\)
w którym wypadkowa sił jest równa zeru. Miejsce to jest położeniem, wokół którego odbywają się drgania ruchu skoczka. Następnie porusza się w górę ruchem niejednostajnie przyśpieszonym, ponownie osiągając miejsce, w którym wypadkowa sił jest równa zeru. Gdy znajdzie się w odległości \(\displaystyle{ l = 11m}\) od miejsca zeskoku, linka przestaje być naprężoną, ale skoczek – przy założeniu zachowania energii – podnosi się do miejsca ruchem opóźnionym, z którego rozpoczął skok bungee Opisany cykl ruchu skoczka powtarza się.
Rozwiązanie
Czas swobodnego spadku
\(\displaystyle{ l = \frac{1}{2}gt^2}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2l}{g}}}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{2\cdot 11}{10}} = 1,48 s.}\)
Współczynnik sprężystości liny
Z zasady zachowania energii
\(\displaystyle{ -m\cdot g \cdot h + \frac{1}{2}\cdot k \cdot y^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{2\cdot m \cdot g \cdot h}{y^2}}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{2\cdot 65 \cdot 10 \cdot 36}{25^2} = 74, 88 \frac{N}{m}}\)
Głębokość, na której wypadkowa siła jest równa się zeru
\(\displaystyle{ m\cdot g = k \cdot y_{r}}\)
\(\displaystyle{ y_{r} = \frac{m\cdot g}{k}}\)
\(\displaystyle{ y_{r} = \frac{65\cdot 10}{74,88} = 8,68 m}\)
\(\displaystyle{ y_{0} = (11 + 8,68 )m = 19, 68 m.}\)
Amplituda drgań skoczka
\(\displaystyle{ A = h - y_{0}}\)
\(\displaystyle{ A = (36 - 19,68 )m = 16, 32 m.}\)